Einf��hrung in die algebraische Geometrie

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��bersicht

In dieser Mastervorlesung werden wir die Algebraische Geometrie kennenlernen. Als eines der gr����ten Gebiete der modernen Mathematik geht sie auf jahrhundertealte Konzepte zur��ck. Heutzutage finden algebraisch-geometrische Methoden unter anderem Anwendung in Zahlentheorie, Kombinatorik, Kodierungstheorie, theoretische Physik, Biologie und Robotik. Die zentralen Objekte sind algebraische Variet��ten: die L��sungsmengen von Polynomen in mehreren Ver��nderlichen. Ein wichtiges Beispiel haben wir schon in der Linearen Algebra kennengelernt, n��mlich L��sungen von linearen Gleichungen in mehreren Ver��nderlichen. Sind die Gleichungen jedoch nicht mehr linear, ist schon die Frage, wann eine solches Gleichungssystem eine L��sung hat, sehr viel schwieriger. Mit diesen und ��hnlichen grundlegenden Fragestellungen wollen wir uns besch��ftigen. Dabei arbeiten wir meistens ��ber den komplexen Zahlen, da wir schon im Fall von nur einer Unbekannten (Fundamentalsatz der Algebra) gesehen haben, wie n��tzlich diese Sichtweise ist.

Das Ziel der Vorlesung ist zu vermitteln, wie Algebraische Geometrie eine Br��cke zwischen der Algebra auf der einen Seite (Polynome und Ringe) und der Geometrie auf der anderen Seite (Kurven, Fl��chen etc.) darstellt. Dabei werden nur Grundkenntnisse aus der Algebra vorausgesetzt. Um neben klassischen auch modernere Sichtweisen vorzustellen, wird statt auf Vollst��ndigkeit und Systematik mehr Wert auf Methodik und Konzepte gelegt.

Zeitlicher Plan

Siehe LSF.

Vorl��ufige Themen

• Affine algebraische Variet��ten (Zariski-Topologie, Hilbertscher Nullstellensatz)
• Projektive Variet��ten
• Quasi-projektive Variet��ten, Morphismen und regul��re Funktionen
• Produkte projektiver R��ume
• Funktionenk��rper
• Tangentialraum und glatte Punkte
• Gr��bner-Basen

��bungen

Bearbeitung von w��chentlichen ��bungsbl��ttern und eine aktive Teilnahme wird den H��rer*innen sehr ans Herz gelegt. Diese wird jedoch nicht bewertet und dient einzig dem tieferen Verst��ndnis f��r die Themen der Vorlesung.��

Pr��fung

M��ndliche (Teil-)Modulpr��fung.

Literatur

Es gibt eine Unmenge an B��chern ��ber Algebraische Geometrie, die meisten jedoch recht anspruchsvoll. Die Vorlesung orientiert sich sehr grob an folgendem kleinen B��chlein:

Smith, Karen E.; Kahanp����, Lauri; Kek��l��inen, Pekka; Traves, William: An invitation to algebraic geometry. Universitext. Springer-Verlag, New York, 2000. xii+155 pp. ISBN: 0-387-98980-3.

Dieses enth��lt leider nur sehr wenige Details oder Beweise. Daf��r sei auf folgendes englischsprachiges Buch verwiesen (das weit ��ber unsere Vorlesung hinausgeht):��https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-84800-056-8. Hier sind noch zwei vollst��ndigere deutsche B��cher:

Hulek, Klaus: Elementare algebraische Geometrie. Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. Second edition. Aufbaukurs Mathematik. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2012. xii+194 pp. ISBN: 978-3-8348-1964-2; 978-3-8348-2348-9

sowie

Fieseler, Karl-Heinz; Kaup, Ludger: Algebraische Geometrie���Grundlagen. Berliner Studienreihe zur Mathematik, 13. Heldermann Verlag, Lemgo, 2005. vi+239 pp. ISBN: 3-88538-113-3

Sehr empfehlenswert ist auch das deutsche Skript zur Vorlesung von Prof. Gathmann:

https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/de/alggeom.php

Was das Thema am Schluss angeht (Gr��bnerbasen), so wird das ausf��hrlich hier behandelt:

https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-16721-3

Ein sch��nes deutsches Skript von Prof. Braun findet sich hier:

https://www.math.uni-duesseldorf.de/~internet/ak_18/vorlesung.pdf