Forschungsinteressen

Einen guten ��berblick ��ber meine aktuellen Interessen geben diese Vortr��ge: Marburg, Perugia, Darmstadt.

Randwertprobleme f��r Willmorefl��chen

Die Willmoregleichung, d.h. die Euler-Lagrange-Gleichung zum Willmorefunktional, z��hlt zu den wichtigen und anspruchsvollen Herausforderungen der nichtlinearen Analysis: Sie ist quasilinear und von vierter Ordnung; viele aus der Theorie von Gleichungen und Systemen zweiter Ordnung her wohlbekannte Methoden versagen zu einem gro��en Teil. Dennoch konnten in letzter Zeit einige bemerkenswerte Fortschritte u.a. von L. Simon, E. Kuwert, R. Sch��tzle, T. Riviere u.a. erzielt werden. Bislang wurde das Willmorefunktional meist nur auf unberandeten kompakten Mannigfaltigkeiten studiert, da hier gro��er Gewinn aus globalen differentialgeometrischen Eigenschaften gezogen werden konnte. Hinsichtlich Randwertproblemen liegen erst ganz wenige Resultate vor: Die ohnehin schwierige Gewinnung von Kompaktheit / Absch��tzungen wird hier nochmals komplizierter. In einem gemeinsamen Projekt mit Klaus Deckelnick und Friedhelm Schieweck wollen wir mit numerischen Studien und analytischen Untersuchungen von Randwertproblemen in symmetrischen Prototypsituationen beginnen und damit eine Richtung aufzeigen, unter welchen Bedingungen zu erwarten sein wird, mit a-priori-beschr��nkten Minimalfolgen arbeiten und a-priori-beschr��nkte klassische L��sungen erhalten zu k��nnen. Als studentische Hilfskraft hat hierzu Herr Lenor eine Reihe von Bildern produziert. Die Kollegen Klaus Deckelnick und Friedhelm Schieweck wollen numerische Algorithmen und Konvergenzs��tze in allgemeineren Situation entwickelen, z.B. f��r Graphen ��ber zweidimensionalen Gebieten. Diesbez��gliche Ergebnisse k��nnten Entwicklungen hin zu parametrisch beschriebenen Fl��chen vorbereiten.
F��rderung durch Deutsche Forschungsgemeinschaft, 1.10.2008-30.09.2010. Projektmitarbeiterin war Anna Dall'Acqua.

Qualitative Eigenschaften von L��sungen elliptischer Randwertprobleme h��herer Ordnung

Als einfachsten Prototyp kann man hier an die Gleichung der eingespannten Platte denken, d.h. an den biharmonischen Operator unter Dirichletrandbedingungen. Von besonderem Interesse sind Positivit��tseigenschaften: Unter welchen Bedingungen an das Problem (Gebiet, Differentialoperator) ziehen positive Daten positive L��sungen nach sich? Die Antwort auf diese Frage f��llt recht differenziert aus: es sind sowohl Beispiele von Gebieten mit stets vorzeichenerhaltenden L��sungen als auch von solchen mit vorzeichenwechselnden L��sungen bekannt. Mein Hauptaugenmerk liegt auf positiven Resultaten: z.B. ist die Gleichung der eingespannten Platte in Gebieten positivit��tserhaltend, die nicht zu sehr vom Kreis abweichen.
Neben ihrer anschaulichen Bedeutung sollen diese Untersuchungen vor allem auch Anwendung auf nichtlineare Gleichungen finden. Erste Erfolge konnten hier bereits erreicht werden, eine befriedigende Antwort auf die Frage, inwiefern die (eingeschr��nkt g��ltigen) Positivit��tsresultate�� Auswirkung auf die nichtlinearen Randwertprobleme h��herer Ordnung haben, scheint aber derzeit noch nicht in Sicht zu sein.
Mittel- bis langfristig erhoffe ich mir hier Fortschritte bei Problemen aus der Physik (Mechanik, Hydrodynamik) und Differentialgeometrie.

In diesem Bereich arbeite ich mit Guido Sweers (K��ln, TU Delft) und Frederic Robert zusammen.

Semilineare Eigenwertprobleme mit kritischem Wachstum

Diese Gleichungen stehen in engem Zusammenhang mit Problemen aus der konformen Geometrie. Zum einen interessiert mich hier im Anschlu�� an sehr bekannte Arbeiten u.a. von Brezis-Nirenberg und Pucci-Serrin die Frage, auf welche Weise die von den Problemen zweiter Ordnung her bekannten Resultate Verallgemeinerungen�� auf Probleme beliebiger Ordnung erfahren. Zum anderen m��chte ich�� versuchen, Verbindungen zur Theorie qualitativer Eigenschaften von L��sungen herzustellen. In diesem Zusammenhang konnte eine abgeschw��chte Version einer Vermutung von Pucci und Serrin bewiesen werden, die das Ph��nomen der "kritischen Dimensionen" f��r polyharmonische semilineare Dirichletprobleme zum Gegenstand hat. Ein Beweis der urspr��nglichen Vermutung stellt immer noch eine Herausforderung dar.
In letzter Zeit konnten die Verbindungen zu den weiter oben genannten Positivit��tsresultaten weiter ausgebaut werden, vor allem mit Hilfe der Zerlegung von Funktionen in Sobolevr��umen h��herer Ordnung bez��glich Paaren zueinander dualer Kegel. Diese ersetzt die in diesen R��umen nicht mehr zul��ssige Zerlegung in Positiv- und Negativteil und gestattet eine effiziente Beschreibung der Kompaktheitseigenschaften der beteiligten Variationsfunktionale.
In diesem Bereich ist die Zusammenarbeit besonders intensiv mit Filippo Gazzola.

Biharmonische Gleichungen mit superkritischem Wachstum

Variationstechniken stehen nicht mehr zur Verf��gung, stattdessen sind Vergleichsprinzipien, Ober-/Unterfunktionstechniken und im Falle radialsymmetrischer L��sungen Methoden aus dem Bereich dynamischer Systeme anzuwenden. Die Verbindung von superkritischem Wachstum und Differentialoperatoren h��herer Ordnung sorgt f��r technisch subtile Schwierigkeiten. Auch hier arbeite ich mit Filippo Gazzola zusammen.

Parabolische Systeme mit kritischem Wachstum

Untersucht wurden semilineare Systeme, bei denen das Wachstum der nichtlinearen Terme kritisch ist bzgl. der Energienorm schwacher L��sungen, d.h. sogenanntes kontrolliertes Wachstum: Ohne weitere Voraussetzungen (wie etwa Vorzeichenbedingungen) ist dann jede schwache L��sung stark. Dieses Regularit��tsresultat, das gemeinsam mit Wolf von Wahl erzielt wurde, basiert auf einer Kontinuit��tsmethode, bei der die Zeit als Kontinuit��tsparameter verwendet wird.
Zum Anderen wurden geometrische Evolutionsprobleme betrachtet, mit deren Hilfe Hermitesch-harmonische Abbildungen zwischen nichtkompakten vollst��ndigen Mannigfaltigkeiten konstruiert werden. Dieses System ist semilinear, quadratisch im Gradienten und nicht in Divergenzform.

Navier-Stokes-Gleichungen

Hier liegt mein Interesse auf instation��ren Au��enraumproblemen mit nicht verschwindender Anstr��mgeschwindigkeit im Unendlichen. Untersucht werden die Regularit��tseigenschaften geeigneter schwacher L��sungen sowie das zeitasymptotische Verhalten von St��rungen stabiler station��rer L��sungen.