{VERSION 5 0 "IBM INTEL LINUX" "5.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
258 "" 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 
0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 
0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
263 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 265 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 
1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1
" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }
3 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 257 1 {CSTYLE "" -1 
-1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 
0 1 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 36 "Differentialrechnung ein
er Variablen" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 145 "Mit diesem Worksheet soll gezeigt werden, welche M\366glichkei
ten Maple zur Differentation und zur Diskussion von Funktionen einer V
ariablen bietet." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 128 "Zun\344chst werden wir sehen, dass Maple zwei M\366glich
keiten zur Differentation bietet. Dies soll an einem Beispel erl\344ut
ert werden:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "f:=x->x^2*sin(x)+x;" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "Diff(f(x),x);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "diff(f(x),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 ">
 " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);" }}}{EXCHG {PARA 
257 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Diff" }{TEXT 256 6 " bzw. " }{TEXT -1 4 "diff
" }{TEXT 257 28 " differenzieren einen Term. " }{TEXT -1 4 "diff" }
{TEXT 258 48 " liefert dabei als Ergebnis wiederum einen Term." }
{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "D(f);" }
}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "D(f)(x);" }}}{EXCHG {PARA 
257 "" 0 "" {TEXT -1 1 "D" }{TEXT 259 30 " differenziert eine Funktion
, " }{TEXT -1 4 "D(f)" }{TEXT 260 79 " liefert als Ergebnis wiederum e
ine Funktion. M\366chte man die Ableitung an einer" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 66 "bestimmten Stelle auswerten eignet sich dieser Befehl als
o besser!" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 8 "D(f)(3);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "evalf(%);" 
}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "H\366here Ableitungen berechnet
 man wie folgt:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "Diff(f(x
),x$3)=diff(f(x),x$3);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 13 "oder au
ch so:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "(D@@3)(f)(x);" }}
}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "unassign('x');" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Wenden wir uns nun der eigentlichen Kurve
ndiskussion zu: wir werden auch diese anhand" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 26 "eines Beispiels erl\344utern." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 23 "g:=x->-x^3+3*x^2+5*x+2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 79 "Wir betrachten zun\344chst den Graphen der Funktion. Dazu
 ben\366tigen wir das Paket " }{TEXT 261 5 "plots" }{TEXT -1 1 "." }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(plots);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "plot(g(x),x=-5..5);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "Nun berechnen wir die erste Ableitung die
ser Funktion und betrachten auch deren Graph:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "D(g)(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 22 "plot(D(g)(x),x=-3..3);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "N
un berechnen wir die Nullstellen der ersten Ableitung:" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "solve(\{D(g)(x)=0\});" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "Damit hat man die Kandidaten f\374r lokal
e Extremstellen gewonnen. Um nun zu \374berpr\374fen, ob lokale" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Minima, Maxima, oder Sattelpunkte vorlieg
en, brauchen wir die zweite Ableitung!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 13 "(D@@2)(g)(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 25 "(D@@2)(g)(1-2/3*sqrt(6));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 25 "(D@@2)(g)(1+2/3*sqrt(6));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 87 "Im ersten Fall liegt also ein lokales Minimum vor, im zwe
iten Fall ein lokales Maximum." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "Auch de
r Funktionswert an diesen Stellen kann nat\374rlich bestimmt werden." 
}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "g(1-2/3*sqrt(6));" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplify(%);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "g(1+2/3*sqrt(6));" }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplify(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 89 "Nun pr\374fen wir die Monotonie der Funktion. Da die Funk
tion stetig ist, setzen wir Punkte " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "zw
ischen den lokalen Extrema in die erste Ableitung ein und ermitteln so
 die Monotonie." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "D(g)(-3);
" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "D(g)(1);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "D(g)(3);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 90 "Die Funktion f\344llt also bis zum Minimum monoton, danac
h steigt sie monoton bis zum Maximum" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "u
m anschlie\337end wiederum monoton zu fallen." }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "Nun werden wir die Wendep
unkte und das Kr\374mmungsverhalten der Funktion bestimmen:" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "solve(\{(D@@2)(g)(x)=0\});" 
}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 101 "Mit der dritten Ableitung unte
rsuchen wir, ob an dieser Stelle auch wirklich ein Wendepunkt vorliegt
." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "(D@@3)(g)(1);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "Es liegt also tats\344chlich ein W
endepunkt vor. Nun kann noch der Funktionswert bestimmt werden:" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "g(1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 91 "Jetzt untersuchen wir noch das Kr\374mmungsverhalten
. Dies k\366nnen wir wiederum durch Einsetzen" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 79 "von Punkten jenseits des Wendepunktes ermitteln, da unser
e Funktion stetig ist." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "(
D@@2)(g)(0);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "(D@@2)(g)(2
);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "Die Funktion ist also zun
\344chst konvex, dann konkav." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "Mit dies
en Untersucheungen ist nun die Seite der Kurvendiskussion, die die Dif
ferentialrechnung" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "in Anspruch nimmt be
endet. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 "Maple bietet mit dem " }{TEXT 
262 7 "student" }{TEXT -1 52 " Paket eine M\366glichkeit, sich viel Ar
beit zu sparen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "with(stu
dent);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "So berechnet zum Beispi
el der Befehl " }{TEXT 263 7 "extrema" }{TEXT -1 51 " die Extrema eine
r Funktion unter Nebenbedingungen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "Es \+
ist auch m\366glich, keine Nebenbedingungen anzugeben. Wollen wir zum \+
Beispiel die Extrema unseres" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 59 "vorherige
n Beispiels berechnen, so gehen wir wie folgt vor:" }}}{EXCHG {PARA 0 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "extrema(-x^3+3*x^2+5*x+2,\{\},x);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 16 "Auch der Befehl " }{TEXT 264 12 "s
howtangent " }{TEXT -1 94 "kann n\374tzlich sein: Er zeigt die Tangent
e einer bestimmten Funktion an einem bestimmten Punkt." }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "showtangent(-x^3+3*x^2+5*x+2,x=1);
" }{TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 114 "Nun wollen wi
r auf weitere M\366glichkeiten mit Maple eingehen: so erlaubt es Maple
, st\374ckweise definierte Funktionen" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 63 "
zu definieren und mit ihnen zu rechnen. Hierbei ist der Befehl " }
{TEXT 265 9 "piecewise" }{TEXT -1 19 " der entscheidende." }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 61 "Auch dies wollen wir uns wieder an einem Beispiel \+
klarmachen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "f:=x->piecew
ise(x<0,1+x,exp(x));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "der
iv:=diff(f(x),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "Maple erkenn
t auch, wenn eine st\374ckweise definierte Funktion nicht differenzier
bar ist:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "g:=x->piecewise
(x<2,x,x^2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "deriv:=diff
(g(x),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 120 "Dies f\374hrt uns s
ofort darauf, wie und ob Maple feststellt, dass eine Funktion an einer
 Stelle nicht differenzierbar ist." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 10 "h:=abs(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
13 "diff(h(x),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "j:=con
vert(h,piecewise);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "diff(
j,x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 113 "Maple stellt u.U. also \+
tats\344chlich fest, dass eine Funktion an einer bestimmten Stelle nic
ht differenzierbar ist." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "Dies ist jedoc
h nicht immer in dieser Form der Fall. Betrachten wir dazu das folgend
e Beispiel:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "k:=x->sqrt(x
);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "D(k)(x);" }{TEXT -1 0 
"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "D(k)(0);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "Hier sieht man an der Fehlermeldung, dass
 an der Stelle '0' nicht differenziert werden kann." }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 92 "Im allgemeinen kann man jedoch nicht sofort erkennen, o
b die Funktion tats\344chlich an einigen" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
34 "Stellen nicht differenzierbar ist." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 
"Zum Schluss wenden wir uns noch den allgemeinen Differentiationsregel
n zu: wie kann man mit" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "Maple die Produ
kt-, Quotienten- oder Kettenregel erzeugen?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 
"" {MPLTEXT 1 0 16 "f:=x->u(x)*v(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 8 "D(f)(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 107 "Hier
 zum Beispiel liefert Maple die Produktregel. Ein \344hnliches Ergebni
s wird bei der Kettenregel erreicht:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 14 "f:=x->u(v(x));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 8 "D(f)(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 "Auch wenn man \+
Verkettungen wie in Maple \374blich eingibt, wird das richtige Ergebni
s geliefert:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "f:=x->(u@v)
(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "D(f)(x);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "Um mit den Variablen fehlerfrei weiterarb
eiten zu k\366nnen, m\374ssen wir diese noch freigeben:" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "unassign('x');" }}}{EXCHG {PARA 0 "
> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{MARK "82" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 
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