{VERSION 4 0 "HP RISC UNIX" "4.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 
0 0 1 }{CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }
{CSTYLE "" -1 256 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
257 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
}{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
262 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 264 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 265 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 266 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
268 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 270 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 271 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 272 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
273 "Courier" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 274 "" 0 
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 275 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 
0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 
0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Hea
ding 1" -1 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 
1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 2" -1 4 1 {CSTYLE "
" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 2 1 0 1 0 
2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 3" -1 5 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 
0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Error" 
-1 8 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Courier" 1 10 255 0 255 1 2 2 2 2 2 1 1 1 3 
1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Maple Output" -1 11 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 3 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Bullet Item" -1 15 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Tim
es" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 3 3 1 0 1 0 2 2 15 2 }
{PSTYLE "Heading 1" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 
1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" 
-1 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 
1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 256 29 "Folgen (Fu
nktionen) und Limes" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 55 "Sei E eine Menge. Eine Abbildung f: N -> E hei\337t Fol
ge." }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 38 "Konstruktion von Folgen u
nd Funktionen" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 103 "In Maple kann man Folge
n auf verschiedene Weisen konstruieren: als Funktion (\374ber N) oder \+
als Prozedur:" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 14 "1. Funktionen " 
}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "In Mapl
e kann man Funktionen sehr einfach konstruieren,\nDie Syntax ist dazu \+
folgenderma\337en:   " }{TEXT 257 33 "name := argument -> Funktionswer
t" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Ein Beispiel:" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "f:= n -> (n+1)/(n^2+n);" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#>%\"fGR6#%\"nG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(*&,&9$\"\"\"F/F
/F/,&*$)F.\"\"#F/F/F.F/!\"\"F(F(F(" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 142 "H
ierbei ist die Funktion eine Abbildung von C in C. Will man andere Abb
ildungen konstruieren so mu\337 man ein paar zus\344tzliche Befehle be
nutzen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 74 "Wir wollen nun eine aber eine \+
Abbildung von N in eine Menge E betrachten. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 49 "Dazu definieren wir zuerst n als eine ganze Zahl:" }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "assume(n,integer);" }}}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 53 " Nun kann man die Funktion sehr einfach konstruieren
." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT 
-1 9 "Beispiele" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "assume(n,integer);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 20 "a1:= n -> (1+1/n)^n;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 
20 "6#>%#a1GR6#%\"nG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(),&\"\"\"F.*&F.F.9$!\"\"
F.F0F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "a2:= n -> (1+
1/n)^(n+1);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#a2GR6#%\"nG6\"6$%)op
eratorG%&arrowGF(),&\"\"\"F.*&F.F.9$!\"\"F.,&F0F.F.F.F(F(F(" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "a3:= n -> 1/(n*(n+1));" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#a3GR6#%\"nG6\"6$%)operatorG%&arrowG
F(*&\"\"\"F-*&9$F-,&F/F-F-F-F-!\"\"F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 41 "a4:= n-> sqrt(n)*( sqrt(n+1) - sqrt(n)); " }}{PARA 
11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#a4GR6#%\"nG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(*&-%
%sqrtG6#9$\"\"\",&-F.6#,&F0F1F1F1F1F-!\"\"F1F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "a5:= n-> n*(1-sqrt( (1-a/n)*(1-b/n) ));" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#a5GR6#%\"nG6\"6$%)operatorG%&arrowG
F(*&9$\"\"\",&F.F.-%%sqrtG6#*&,&F.F.*&%\"aGF.F-!\"\"F7F.,&F.F.*&%\"bGF
.F-F7F7F.F7F.F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "a6:=
 n-> (((-1)^n-1)/2)^((n+1)/2)*(1-1/n); " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 
20 "6#>%#a6GR6#%\"nG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(*&),&)!\"\"9$#\"\"\"\"\"
##F3F4F0,&F1F2F2F3F3,&F3F3*&F3F3F1F0F0F3F(F(F(" }}}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 145 "Wie bestimmt schon aufgefallen ist, kann man mit Funktio
nen keine st\374ckweise gegeben Folgen konstruieren. Daf\374r ist die \+
Prozedur sehr hilfreich. " }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 13 "2.
 Prozeduren" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "Um eine Funktion, die st\374ckw
eise gegeben ist, in Maple darzustellen, kann man Prozeduren benutzen.
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Hier nun die Syntax:  " }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 2 "  " }{TEXT 258 6 "name:=" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 259 
4 "proc" }{TEXT 260 30 "(argument : : type_sequence );" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 12 "           [" }{TEXT 264 6 "local " }{TEXT -1 1 " " 
}{TEXT 261 18 "variables_sequence" }{TEXT -1 5 " ;) ]" }}{PARA 0 "" 0 
"" {TEXT -1 12 "           [" }{TEXT 265 6 "option" }{TEXT -1 2 "  " }
{TEXT 262 16 "options_sequence" }{TEXT -1 5 " ;) ]" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 11 "           " }{TEXT 263 10 "statements" }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT 266 3 "end" }{TEXT -1 1 ";" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Dab
ei ist " }{TEXT 267 5 "name " }{TEXT -1 23 "der Name der Prozedur. " }
{TEXT 268 27 "argument : : type_sequence " }{TEXT -1 9 "weist den" }
{TEXT 270 1 " " }{TEXT 271 0 "" }{TEXT 272 0 "" }{TEXT -1 224 "verschi
edenen Argumenten der Funktion ihren Typ zu. Auf jedes Argument sollte
 dessen Typ folgen, getrennt durch zwei Doppelpunkte. Wenn mehr als ei
n Typ auftreten, so m\374ssen diese als Elemente einer Menge aufgelist
et werden." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 206 "Lokale Variablen sind nur \+
f\374r die Zwischendaten gedacht. Sie sind von au\337erhalb der Prozed
ur nicht sichtbar und unabh\344ngig von anderen Variablen au\337erhalb
 der Prozedur, die eventuell den selben Namen haben." }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 19 "Die Bedeutung der  " }{TEXT 273 7 "option-" }{TEXT -1 
47 "sequence soll am Beispiel unten erkl\344rt werden:" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 150 "Beispiel: Die folgende Funktion transformiert eine \+
gegebene Liste von Koeffizienten in ein Polynom \374ber die Variable x
 mit denselben Koeffizienten um:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 154 "KoeffPoly:=proc(polylist::list, x::symbol)\nlocal i, degree: \+
  \ndegree:= nops(polylist) :\n0:\nfor i  to degree do\n   % + polylis
t[i]*x^(degree - i)\nod\nend:\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 27 "KoeffPoly([1,1,c^2+1,1],y);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6
#,**$)%\"yG\"\"$\"\"\"F(*$)F&\"\"#F(F(*&,&*$)%\"cGF+F(F(F(F(F(F&F(F(F(
F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "y^3+y^2+(c^2+1)*y+1;
" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,**$)%\"yG\"\"$\"\"\"F(*$)F&\"\"#F
(F(*&,&*$)%\"cGF+F(F(F(F(F(F&F(F(F(F(" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 
" degree ist der Grad\nnops(polylist) ist die Anzahl der Eintr\344ge i
n der Liste" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "% steht f\374r das letzte \+
Ergebnis, das Maple berechnet hat." }}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT 
-1 44 "Beispiele f\374r st\374ckweise gegebene Funktionen" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 104 "Bertrachte die Funktion b1: R^2 -> R\nmit b1( [x,
y] ) := x*y / (x^2+y^2) f\374r x*y<>0 und b1( [0,0] ) := 0 " }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 191 "b1:=proc(tupel::list)\nif tupel[1]
=0\nthen if tupel[2]=0 then 0 else ((tupel[1])*(tupel[2]))/((tupel[1])
^2 + (tupel[2])^2) fi \nelse ((tupel[1])*(tupel[2]))/((tupel[1])^2 + (
tupel[2])^2)\nfi\nend:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "b
1([1,1]);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6##\"\"\"\"\"#" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "b1([0,0]);" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#\"\"!" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "Eine weitere bek
annte Funktion ist das sgn: Z -> \{1,-1\} " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 84 "mit sgn(k):= 1, falls k eine gerade Zahl, und sgn(k)= -1, falls
 k eine ungerade Zahl" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "sgn
 := proc(k::integer) (-1)^k end:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 101 "wen
n wir nun aus Versehen das sgn einer Zahl des falschen Typs berechnen \+
wollen, passiert folgendes: " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
8 "sgn(Pi);" }}{PARA 8 "" 1 "" {TEXT -1 79 "Error, sgn expects its 1st
 argument, k, to be of type integer, but received Pi\n" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "sgn(-2);" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#\"\"\"" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 269 1 " " }}}}{SECT 
1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Der Limes" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
38 "Sei E ein normierter Raum mit Norm |.|" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 45 "Sei a: N -> E eine Abbildung und x' sei aus E" }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 72 "Dann ist x' der Limes von a(n) f\374r n -> unendlich, f
alls folgendes gilt:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "f\374r alle r>0 e
xistiert ein n'(r), so da\337 f\374r alle n>n'(r) gilt:  | x' - a(n) |
 < r" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "Im Zeichen:    lim_(n -> unendlic
h) a(n) = x'" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 "In Maple gibt es verschie
dene Methoden den Limes zu berechnen" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT 
-1 67 "limit(f,x=a);  limit(f,x=a,dir); \n Limit(f,x=a);  Limit(f,x=a,
dir);" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 274 10 
"Parameter:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "f    - ein algebraischer A
usdruck" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "x   - die Variable" }}{PARA 0 
"" 0 "" {TEXT -1 72 "a   - ein algebraischer Ausdruck (der Grenzpunkt,
 +/- unendlich m\366glich)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 96 "dir - (opti
onal) die Richtung: eines der folgenden M\366glichkeiten: left, right,
 real oder complex" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 5 
"" 0 "" {TEXT -1 12 "Beschreibung" }}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Die
 'limit' Funktion versucht den Grenzwert von f an der Stelle a zu bere
chnen." }}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 257 "Wenn die Richtung 'dir' nicht
 n\344her spezifiziert wird, so geht Maple vom reellen, beidseitigen G
renzwert aus, ausgenommen der Fall, in dem der Grenzpunkt a +/- unendl
ich ist. In diesen F\344llen nimmt Maple automatisch den links- bzw. r
echtsseitigen Grenzwert." }}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 153 "limit setzt
 jede nicht weiter erl\344uterte Variable als reell und ungleich Null \+
voraus. Z.Bsp. liefert Maple f\374r limit(a^2*x,x=infinity) den Wert u
nendlich" }}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 133 "Das Ergebnis von Maple kann
 ein Intervall (beschr\344nktes) oder ein algebraischer Ausdruck, der \+
m\366glicherweise unendlich enth\344lt, sein." }}{PARA 15 "" 0 "" 
{TEXT -1 158 "Beachte: 'Limit' \374berpr\374ft nicht die Existenz eine
s Grenzwertes. Dies kann manchmal zu falschen Umfomulierungen f\374hre
n. Siehe auch die letzten zwei Beispiele!" }}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT 
-1 95 "Wenn 'limit' den Grenzwert nicht berechnen kann, so wird nur di
e Funktion selbst zur\374ckgegeben." }}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 117 "
Die Funktion 'Limit' ist nur eine innere Funktion, die unberechnet zur
\374ckgegeben wird. Sie dient der Visualisierung. " }}}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Beispiele allge
mein" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "limit(sin(x)/x, x=0)
;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 
"" {MPLTEXT 1 0 26 "limit(exp(x), x=infinity);" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#%)infinityG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
27 "limit(exp(x), x=-infinity);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"
\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "limit(1/x, x=0, real
);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%*undefinedG" }}}{EXCHG {PARA 0 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "limit(exp(x^2)*(1-erf(x)), x=infinity);" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 19 "Limit(sin(x), x=0);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "
6#-%&LimitG6$-%$sinG6#%\"xG/F)\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 31 "limit(-x, x=infinity, complex);" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#^$,$%)infinityG!\"\"F%" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 25 "limit(1/x, x=0, complex);" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#^$%)infinityG,$F$!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 37 "combine(Limit(1/x,x=0)*Limit(x,x=0));" }}{PARA 11 "" 
1 "" {XPPMATH 20 "6#-%&LimitG6$\"\"\"/%\"xG\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 ">
 " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "combine(limit(1/x,x=0)*limit(x,x=0));" }
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%*undefinedG" }}}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 20 "
Beispiele f\374r Folgen" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "a
1:= n -> (1+1/n)^n:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "limi
t(a1(n), n=infinity);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%$expG6#\"\"
\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "a2:= n -> (1+1/n)^(n+
1):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "limit(a2(n), n=infin
ity);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%$expG6#\"\"\"" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "a3:= n -> 1/(n*(n+1)):" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "limit(a3(n), n=infinity);" }}{PARA 
11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 41 "a4:= n-> sqrt(n)*( sqrt(n+1) - sqrt(n)): " }}}{EXCHG {PARA 0 "
> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "limit(a4(n), n=infinity);" }}{PARA 11 "" 1 "
" {XPPMATH 20 "6##\"\"\"\"\"#" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 39 "a5:= n-> n*(1-sqrt( (1-a/n)*(1-b/n) )):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "limit(a5(n), n=infinity);" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#,&%\"bG#\"\"\"\"\"#*&F%F&%\"aGF&F&" }}}{EXCHG {PARA 0 "
> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "a6:= n-> (((-1)^n-1)/2)^((n+1)/2)*(1-1/n);" 
}}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#a6GR6#%\"nG6\"6$%)operatorG%&arro
wGF(*&),&)!\"\"9$#\"\"\"\"\"##F3F4F0,&F1F2F2F3F3,&F3F3*&F3F3F1F0F0F3F(
F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "limit(a6(n), n=infi
nity);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%&limitG6$*&),&)!\"\"%\"nG#
\"\"\"\"\"##F-F.F*,&F+F,F,F-F-,&F-F-*&F-F-F+F*F*F-/F+%)infinityG" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "evalf(%);" }}{PARA 11 "" 1 "
" {XPPMATH 20 "6#-%&limitG6$*&),&)!\"\"%\"nG#\"\"\"\"\"##F-F.F*,&F+F,F
,F-F-,&F-F-*&F-F-F+F*F*F-/F+%)infinityG" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 41 "limit(f, points);  limit
(f, points, dir);" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT 275 10 "Parameter:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "f           -
 ein algebraischer Ausdruck" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "points   -
 eine Menge von Gleichungen der Form x=a" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
96 "dir - (optional) die Richtung: eines der folgenden M\366glichkeite
n: left, right, real oder complex" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Beschreibung:" }}{PARA 5 "" 0 "" 
{TEXT -1 110 "Sind mehrere Punkte im zweiten Argument gegeben, so bere
chnet 'limit' den Grenzwert im mehrdimensionalen Raum." }}{PARA 15 "" 
0 "" {TEXT -1 162 "Die optionale Richtung 'dir' ist g\374ltig f\374r a
lle Punkte, d.h. jeder Punkt wird von derselden Richtung erreicht. (Vo
n links, rechts, beidseitig(real) oder komplex)" }}{PARA 15 "" 0 "" 
{TEXT -1 96 "Wenn der Grenzwert abh\344ngig ist von dem Weg (des Heran
n\344herns), so ist das Ergebnis 'undefined'." }}{PARA 15 "" 0 "" 
{TEXT -1 37 "Ein Grenzpunkt x=x wird ignoriert.   " }}}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Beispiele" }}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "limit((x^2-y^2)/(x^2+y^2), \+
\{x=0,y=0\});" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%*undefinedG" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "limit(x+1/y, \{x=0,y=infinit
y\});" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "limit(x*y, \{x=0,y=infinity\});" }}{PARA 11 "
" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%*undefinedG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 44 "limit((sin(x^2)-sin(y^2))/(x-y), \{x=0,y=0\});" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%&limitG6$*&,&-%$sinG6#*$)%\"xG\"\"#
\"\"\"F/-F)6#*$)%\"yGF.F/!\"\"F/,&F-F/F4F5F5<$/F-\"\"!/F4F9" }}}}}}
{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 41 "Der Limes Superior und der Limes \+
Inferior" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 269 "Der Limes Superior und der L
imes Inferior werden mit der normalen Limesfunktion ('limit') berechne
t. Wenn sie nicht gleich sind, so liefert maple ein Intevall als Ergeb
nis. Dessen untere Schranke ist der Limes Inferior und dessen obere Sc
hranke ist der Limes Superior. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}
{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Einige Beipiele" }}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "limit( (-1)^n, n=infinity);" }}{PARA 11 "
" 1 "" {XPPMATH 20 "6#;!\"\"\"\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 85 "Damit ist limsup( (-1)^n,  n=infinity) = 1   und   liminf( (-1)
^n,  n=infinity) = -1 " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "l
imit( sin( n*Pi/4), n=infinity);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#;!
\"\"\"\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}}{MARK 
"1" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }