{VERSION 5 0 "IBM INTEL LINUX" "5.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "Dieses Worksheet soll eine
 Anschauung davon vermitteln, welcher Art \"implizit\"" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 87 "definierte Gebilde sind. Im linearen Fall liegen die
 Dinge im R^3 klar: Hat man jeweils" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "ue
berhaupt mindestens eine Loesung, so ist die Loesungsmenge bei einer n
ichttrivialen" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "Gleichung eine Ebene, be
i zwei linear unabhaengigen Gleichungen eine Gerade, bei dreien" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "ein Punkt. Entsprechend erwartet man in R
^2 als Loesungsgebilde einer Gleichung Geraden" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 97 "und zweier (natuerlich linear unabhaengiger) einen Punkt.
 Unter geeigneten Nichtdegeneriertheits-" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
82 "bedingungen erwartet man bei nichtlinearen Gleichungssystemen Anal
oges, sofern man" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "ueberhaupt Loesungen \+
findet. Dabei ist \"Gerade\" durch \"glatte Kurve\" und \"Ebene\" durc
h" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "\"glatte Flaeche\" zu ersetzen. Die \+
folgenden Bilder sollen diese grob umrissene Vorstellung unter-" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "mauern." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 107 "Der grundlegende Befehl ist hier \"implicitplot\" bzw. \"impli
citplot3d\". Dazu ist das Paket \"plots\" zu laden:" }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(plots);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 80 "Beginnen wir mit Funktionen in R^2 und deren Nullstelleng
ebilden (Hoehenlinien)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "
f:=(x,y)->exp(x*y)+x^2+2*y^2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 "
Der Graph dieser Funktion:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
31 "plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 74 "Und einige ihrer Hoehenlinien, das sind Loesungen von f(x,y) - \+
const. = 0:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "implicitplot
(f(x,y)=2,x=-2..2,y=-2..2,grid=[100,100]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 56 "implicitplot(f(x,y)=1.5,x=-2..2,y=-2..2,grid=[100,1
00]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "implicitplot(f(x,y
)=1.01,x=-2..2,y=-2..2,grid=[200,200]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 90 "Nun zum R^3. Zu Beginn zeigen wir die Standardtypen der a
us der linearen Algebra bekannten" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "Quad
riken (quadratischen Flaechen). Eine Kugel (allgemein Ellipsoid):" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "implicitplot3d(x^2+y^2+z^2=1
, x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "Ei
nschaliges Hyperboloid:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "
implicitplot3d(x^2+y^2-z^2=1, x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 "Zweischaliges Hyperboloid:" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "implicitplot3d(x^2-y^2-z^2=1, x=-2.
.2,y=-2..2,z=-2..2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Und nun z
u allgemeineren nichtlinearen Flaechen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 39 "F:=(x,y,z)->exp(x*y*z)+x^2+2*y^2+4*z^2;" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "implicitplot3d(F(x,y,z)=5,x=-2..2,y
=-2..2,z=-2..2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "G:=(x,y
,z)->exp(x*y+z^2)+x^2+2*y^2-3*z^2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 51 "implicitplot3d(G(x,y,z)=2,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2);" 
}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "implicitplot3d(G(x,y,z)=1
.5,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "E
in Paraboloid:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "H:=(x,y,z
)->z-x^2-y^2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "implicitpl
ot3d(H(x,y,z)=-0.5,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 93 "Setzt man gleichzeitig zwei Funktionen gleich 0, so erh
aelt man (falls nichtleer) eine Kurve." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 
"In den folgenden Bildern sieht man diese Kurve als Schnittgebilde der
 beiden Flaechen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 68 "implic
itplot3d(\{H(x,y,z)=-0.5, F(x,y,z)=5\},x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "Durch Aufschneiden (Verkleinern de
s Definitionsgebietes) erhalten wir einen klareren Blick" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 21 "auf die Schnittkurve:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 65 "implicitplot3d(\{H(x,y,z)=-0.5, F(x,y,z)=5\},x=0..2
,y=0..2,z=0..2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "Es folgt ein
 Beispiel, das die Wichtigkeit der Nichtdegeneriertheitsbedingung im S
atz von der impliziten" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "Funktion erlaeu
tern soll. Im Folgenden werden ein \"Zylinder\" und eine \"Wellpappe\"
 geschnitten. Man" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 102 "erhaelt zwei auf de
m Zylindermantel laufende Schraubenlinien in entgegengesetztem Umlaufs
inn, die sich" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 101 "periodisch schneiden. I
n diesen Punkten ist die Rangbedingung an die Jacobimatrix von (F,G) v
erletzt." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "F:=(x,y,z)->x^2
+z^2-1;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "G:=(x,y,z)->cos(
y)-z;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 91 "implicitplot3d(\{F
(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0\},x=-0.1..1.1,y=-10..10,z=-1.1..1.1,grid=[30,30,
30]);" }}}}{MARK "30 2 0" 60 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }
{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }