{VERSION 5 0 "IBM INTEL LINUX" "5.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 96 "Zunaechst werden einige St
andardtypen fuer unbestimmte und bestimmte Integrale aufgelistet. Man \+
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "kann unschwer erkennen, dass MAPLE da
bei genau den in der Vorlesung besprochenen Integrations-" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 15 "methoden folgt." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 18 "int(x*exp(x^2),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 23 "int(x*exp(x^2),x=0..1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 14 "int(tan(x),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
102 "Bei dem folgenden Integranden handelt es sich um eine vergleichsw
eise komplizierte rationale Funktion." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "
Das Ergebnis illustriert eindrucksvoll die erforderliche Zerlegung in \+
Partialbrueche:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "int((x^2
+x-4)/(x^2+2*x),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "int(
ln(x),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "int(x*exp(x),x
);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "int(sin(x)^2,x);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "int(exp(x^2),x);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "Offenkundig handelt es sich bei dem letz
ten Beispiel um eine nicht auf elementare Weise  e x p l i z i t" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "integrierbare Funktion." }}}{EXCHG {PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 99 "Mit den rationalen Funktionen hat man eine gros
se Klasse, fuer die man theoretisch die Existenz von" }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 114 "Stammfunktionen  a l s   K o m b i na t i o n   e l e \+
m e n t a r e r    F u k t i o n e n  zeigen kann. Man sagt," }}{PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 101 "dass rationale Funktionen explizit integrierba
r sind. Wir sehen uns die dabei vorkommenden Prototypen" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 45 "aus der allgemeinen Partialbruchzerlegung an:" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "int(1/((x^2+1)),x);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "int(x/((x^2+1)),x);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "Anspruchsvoller wird die Aufgabe, \+
wenn ein weiterer Parameter  k  hinzutritt" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 21 "int(x/((x^2+1)^k),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 12 "simplify(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 101 
"Abschliessend wenden wir uns dem unangenehmsten Partialbruch zu, zuna
echst mit speziellem Exponenten:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 21 "int(1/((x^2+1)^2),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 21 "int(1/((x^2+1)^3),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 38 "Und nun mit allgemeinem Exponenten  k:" }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "int(1/((x^2+1)^k),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 
"" 0 "" {TEXT -1 113 "Dieses Ergebnis ist zunaechst enttaeuschend. And
ererseits ist es natuerlich schwer fuer das Programm zu erkennen," }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 110 "dass wir uns nun partielle Integration u
nd anschliessendes Aufloesen der Relation wuenschen. Immerhin waere es
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "schoen, wenn MAPLE die von Hand durch
 partielle Integration gewonnen Forme  im Rahmen des" }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 46 "symbolischen Kalkuels   \"nachrechnen\" koennte:" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 64 "int(1/((x^2+1)^k),x)-((2*k-3
)/(2*k-2))*int(1/((x^2+1)^(k-1)),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 11 "combine(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "N
och ein Versuch mit kompletter Angabe des Ergebnisses:" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 82 "int(1/((x^2+1)^(k+1)),x)-((2*k-1)/(
2*k))*int(1/((x^2+1)^(k)),x)-x/(2*k*(x^2+1)^k);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "simplify(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 11 "combine(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 127 "
Offenkundig ist es schwierig, mit dem Parameter  k  umzugehen. Um aber
 dennoch einen Anhaltspunkt fuer die Richtigkeit der oben" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 129 "genannten Formel zu gewinnen, spezifizieren wir k
 und lassen es in einer Schleife ueber einen grossen Bereich laufen. L
eider gibt" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 67 "dieser \"Ausweg\" nur eine \+
 u n v o l l s t a e n d i g e  Induktion:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 357 "for k from 2 to 100                               \+
                                                                      \+
     do                                                               \+
                                                        int(1/((x^2+1)
^(k+1)),x)-((2*k-1)/(2*k))*int(1/((x^2+1)^(k)),x)-x/(2*k*(x^2+1)^k)   \+
                        od;" }}}}{MARK "4 1 0" 85 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 
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