{VERSION 4 0 "HP RISC UNIX" "4.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 256 "" 1 18 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 1 18 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 1 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 261 "System" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE " " -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times " 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 } {PSTYLE "Maple Output" -1 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 3 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Maple Plot " 0 13 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Output" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 3 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "" 3 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 11 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 260 0 "" }{TEXT 256 0 "" }{TEXT 257 16 "Komplexe Zahlen " }{TEXT 258 0 "" }{TEXT 259 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 6 "Digits" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Eine sehr bekannte irrationale Zahl ist " }{TEXT 261 0 "" }{TEXT -1 2 "Pi" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 3 "Pi;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%#PiG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "eva lf(Pi);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"+aEfTJ!\"*" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 123 "'evalf' transformiert ein Ergebnis (anfangs symbo lisch) in eine Dezimalzahl (gerundet, je nachdem ob Digit gro\337 genu g ist)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Die Anzahl der Stellen von Pi \+ ist 10:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "Digits;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"#5" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 41 "Wir er h\366hen nun die Digits von Pi auf 20:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "Digits:=20:\nevalf(Pi);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"5&QKz*e`EfTJ!#>" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "Man kann abe r auch die Digits schon in der Funktion evalf \344ndern:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "evalf(Pi,3);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"$9$!\"#" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 127 "Wir haben \+ so die Digits auf 3 reduziert. Man beachte aber die Rundungsfehler, di e bei der \304nderung von Digits auftreten k\366nnen:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "0.099991:\n% , evalf(%,4) , evalf(%,3);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6%$\"&\"****!\"'$\"%****!\"&$\"$+\"!\" $" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 66 "Man bemerke, da\337 keines der Erge bnisse die Digits korrekt anzeigt!" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} }{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Komplexe Zahlen - Grundlagen" }} {PARA 257 "" 0 "" {TEXT 262 255 "Komplexe Zahlen in Maple sind von der Form z = x + I y . Dabei sind x und y reelle Zahlen und I ist die ima gin\344re Einheit. Die inagin\344re Einheit I zeichnet sich dadurch au s, da I^2 = -1 gilt. Um andere Darstellungsformen komplexer Zahlen zu erreichen, mu" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 239 "Maple selbst hat keine Funktion, um die Kooerdinatendarstellung einer komplexen Zahl in die \+ trigonometrische Darstellung oder Exponentialform zu transformieren. D af\374r kann man in Maple Funktionen definieren, die Transformation du rchf\374hren." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 111 "Wenn z = x + I y eine k omplexe Zahl in der Koordinatendarstellung gegeben ist, so gilt f\374r die Exponentialform:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 133 " z = r * e^( I* phi ), wobei der Radius r = sqrt( x^2 + y^2) und f\374r den Winkel phi : cos(phi) = x/r (wenn r<>0). F\374r r = 0 ist z = 0." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "nun also die Exponentialform von z " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 201 "expon:= proc(z::complex)\nlocal x, y, r, phi :\nif z=0 then 0\nelse \nx:= Re(z) :\ny:= Im(z) :\nr:= sqrt(x^2+y ^2):\nphi:= Invfunc[cos](x/r): # Invfunc[f](x) ist die inverse Funkti on von f\nr*e^(I*phi)\nfi\nend:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "expon(0);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "expon(4+3*I);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,$)%\"eG*&^#\"\"\"F(,&*&,&F(F(*&\"\"#F(%$_B9GF(!\"\"F(- %'arccosG6##\"\"%\"\"&F(F(*(F-F(%#PiGF(%$_Z9GF(F(F(F5" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 123 "Kommen wir nun zur trigonomertischen Darstellung ei ner komplexen Zahl z = r*e^( I*phi ) : z = r* cos(phi) + I* r*sin(ph i)" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 163 "trigon:= proc(z::comp lex)\nlocal x, y, r, phi :\nif z=0 then 0\nelse \nx:= Re(z) :\ny:= Im( z) :\nr:= abs(z);\nphi:= Invfunc[cos](x/r); \n r*cos(phi) + I*r*sin(ph i)\nfi\nend:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "trigon(0); " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 10 "trigon(2);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,&-%$ cosG6#,$*&%#PiG\"\"\"%%_Z16GF*\"\"#F,*&^#F,F*-%$sinGF&F*F*" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "Nun noch einige spezielle Befehle f\374r komple xe Zahlen: Sei z eine komplexe Zahl, dann sind:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 "Re(z) der Realteil, Im(z) der Imagin\344rteil, conjugate (z) das komplex Konjugierte und abs(z) der Betrag von z." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "z:= 2-I;\nRe(z), Im(z), conjugate(z ), abs(z);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"zG^$\"\"#!\"\"" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6&\"\"#!\"\"^$F#\"\"\"*$-%%sqrtG6#\"\"&F &" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "z:= z^2 + 1/z;\nevalf( z);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"zG^$#\"#<\"\"&#!#>F(" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#^$$\"5+++++++++M!#>$!5+++++++++QF&" }} }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "Bemerkung: evalf operiert getrennt auf d em Realteil und dem Imagin\344rteil einer komplexen Zahl." }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 212 "Die Koordinatenform wird nicht immer von Maple al s Ergebnis geliefert. Um eine komplexe Zahl dennoch in ihre Koordinate nform zu transformieren, stellt Maple die Funktion evalc (evaluate to \+ complex) zur Verf\374gung." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "1/(x+I*y);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#*&\"\"\"F$,&%\"xGF$* &^#F$F$%\"yGF$F$!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "eva lc(%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,&*&%\"xG\"\"\",&*$)F%\"\"#F &F&*$)%\"yGF*F&F&!\"\"F&*&*&^#F.F&F-F&F&F'F.F&" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 256 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Graphische Darste llung" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "Wir wollen nun eine Folge komple xer Zahlen graphisch darstellen:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Sei z (n): n -> (1-n*I)/(n+4*(i^n)) mit n = 1, 2, 3,... eine Folge komplex er Zahlen " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 47 "Zuesrt konstruieren wir uns daf\374r eine Sequenz:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 86 "z := n-> (1-n*I)/(n+4*(I^n));\ndata:= [seq([Re(z(n)), Im(z(n))], n=1..30 )]: \nplot(data);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"zGR6#%\"nG6\" 6$%)operatorG%&arrowGF(*&,&\"\"\"F.*&^#!\"\"F.9$F.F.F.,&F2F.*&\"\"%F.) ^#F.F2F.F.F1F(F(F(" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 412 292 292 {PLOTDATA 2 "6%-%'CURVESG6$7@7$$!3ITHN#)eqk$!3ImmmmmmmmF*7$$!3Ov\"RY :0Ny#F*$!3GW\"Qzf')Gw)F*7$$\"3emmmmmmm;F*$!3ummmmmmm;!#<7$$\"3\\&)f9S& )f9SF*$!3Tf9S&)f9S&)F*7$$\"3+++++++]iFM$!3++++++++vF*7$$!3A3\"3\"3\"3 \"3@F*$!3K^8N^8N^$*F*7$$\"3/+++++++5F*$!3!**************R\"FZ7$$\"3$pu ?]>L?6$F*$!3W+yK\"[C,<*F*7$$\"3G+++++++]FM$!3U+++++++!)F*7$$!3k$)4aZ68 s;F*$!3y!=\\qPdlg*F*7$$\"3YUr&G9dG9(FM$!3#eG9dG9dG\"FZ7$$\"36WU?**Q*)> DF*$!3af,A@g\\p%*F*7$$\"3WmmmmmmmTFM$!3qLLLLLLL$)F*7$$!3s*3(o)zb&y8F*$ !3`?s5VzTP(*F*7$$\"3EbbbbbbbbFM$!3KAAAAAAA7FZ7$$\"3Ju\"45@F*$!3!)z d$H_FIj*F*7$$\"3Cr&G9dG9d$FM$!3%4dG9dG9d)F*7$$!3'[2s=!o/q6F*$!3tn/q6Dz 7)*F*7$$\"3eXXXXXXXXFM$!3)========\"FZ7$$\"3c^F\"p`!37=F*$!3Au5;COaJ(* F*7$$\"3+++++++DJFM$!3+++++++]()F*7$$!3#4\"e'[>p^,\"F*$!3/Hrxim(*f)*F* 7$$\"3QYQ:YQ:YQFM$!3u`h%Q:YQ:\"FZ-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"$F2F2F`u- %+AXESLABELSG6$Q!6\"Fdu-%%VIEWG6$%(DEFAULTGFiu" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" }}}}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 110 "Was passiert, wenn wir die n-te Wurzel aus einer komplex en Zahl z ziehen? Setzen wir zum Beispiel z = 1 + I:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 96 "z:= I:\nf:= n -> root(z,n):\ndata:= [seq([Re(f(n)), Im(f(n))], n=1..10)]:\nplot(data, style=point);" }} {PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 "6&-%'CURVESG6$7,7$ $\"\"!F)$\"\"\"F)7$$\"3sva'=\"y1rq!#=F-7$$\"3'fQWy.a-m)F/$\"3++++++++] F/7$$\"3QnG6D`zQ#*F/$\"3#y*3lBV$o#QF/7$$\"3UO:&H;l0^*F/$\"3'RZ\\P%*p,4 $F/7$$\"37$o!*GEe#f'*F/$\"3S2_-^/>)e#F/7$$\"3?O#==7z#\\(*F/$\"3$R9j&R$ 4_A#F/7$$\"3J/B./G&y!)*F/$\"3[#Gh,A.4&>F/7$$\"3K\"3A,`x![)*F/$\"3J.$pm x\"[O " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{MARK "4" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 } {PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }