{VERSION 5 0 "IBM INTEL LINUX" "5.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "Mit diesem Worksheet solle
n einige Grundaufgaben aus der Analysis mehrerer Veraenderlicher" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "behandelt werden." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 92 "Wir beginnen mit der Betrachtung von Raumkurven, d.h
. eindimensionalen \"glatten\" Gebilden im" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 74 "R^3. Fuer die folgenden Visualisierungen benoetigen wir das Pak
et \"plots\"." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(plots
):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "Das erste Beispiel hat die \+
Form einer Schraubenlinie:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
56 "spacecurve([cos(t),sin(t),t],t=0..20*Pi,numpoints=1000);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "Das zweite Beispiel ist die ebene \+
logarithmische Spirale:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "
plot([exp(-t)*cos(t),exp(-t)*sin(t),t=0..10],numpoints=1000);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Mit einem zusaetzlichen Parameter \+
in z-Richtung \"aufgeloest:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
70 "spacecurve([exp(-t)*cos(t),exp(-t)*sin(t),t],t=0..10,numpoints=100
0);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 105 "Der zweite Teil behande
lt die Kurvendiskussion und Visualisierung von Funktionen in zwei Vera
enderlichen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "f:=(x,y)->(
x^2+4*y^2)*exp(-x^2-y^2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 "Der \+
Graph dieser Funktion:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "p
lot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
101 "Sehr aufschlussreich ist bereits das Hoehenlinienbild (worauf die
 ganze Landkartenindustrie basiert!)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 51 "contourplot(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2,grid=[100,100]);" 
}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 114 "contourplot(f(x,y),x=-2.
.2,y=-2..2,contours=[0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,1.1,1.2,1
.3],grid=[100,100]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 66 "Die Funkt
ion  f wird mit Hilfe von Maple symbolisch differenziert:" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "diff(f(x,y),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "factor(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 12 "simplify(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 15 "diff(f(x,y),y);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "fa
ctor(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "Der erste Schritt in \+
der Kurvendiskussion besteht im Aufsuchen der Nullstellen des Gradient
en:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 81 "solve(\{-2*x*(-1+x^2
+4*y^2)*exp(-x^2-y^2)=0,-2*y*exp(-x^2-y^2)*(-4+x^2+4*y^2)=0\});" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "Nachdem man so Kandidaten fuer lok
ale Extremstellen gewonnen hat, soll mit dem Studium der zweiten" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 "Ableitungen herausgefunden werden, ob es
 sich um lokale Minima, lokale Maxima, Sattelpunkte oder degenerierte
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "kritische Punkte  handelt. Bestimmen \+
wir also die zweiten Ableitungen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 17 "diff(f(x,y),x$2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 10 "factor(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
17 "diff(f(x,y),x,y);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "fa
ctor(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "diff(f(x,y),y$2
);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "factor(%);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 100 "Fuer eine Diskussionder Hessesche
n Matrix ist es sinnvoll, das Paket fuer Lineare Algebra zu nutzen:" }
}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "with(linalg);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Schreiben wir den Gradienten als Vektor:
" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "gradient:=vector([facto
r(diff(f(x,y),x)),factor(diff(f(x,y),y))]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 31 "und loesen die Vektorgleichung:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "solve(\{gradient[1]=0,gradient[2]=0\});" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Definition der Hesse-Matrix:" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 120 "Hess:=matrix([[factor(diff(
f(x,y),x$2)),factor(diff(f(x,y),x,y))],[factor(diff(f(x,y),y,x)),facto
r(diff(f(x,y),y$2))]]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 124 "Deren
 Eigenwerte bestimmen den Typ des kritischen Punktes: Sind beide (stri
kt!!!) positiv, so haben wir ein lokales Minimum." }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 125 "Sind beide negativ, ein lokales Maximum. Ist ein Eigenwe
rt positiv, der andere negativ, so einen Sattelpunkt und kein lokales
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 66 "Extremum. Ist ein Eigenwert 0, so ist
 keine Entscheidung moeglich." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 18 "eigenvalues(Hess);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Wir s
pezifizieren nun der Reihe nach alle kritischen Punkte:" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "x:=0;y:=0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "eigenvalues(Hess);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 11 "x:=0;y:=-1;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 18 "eigenvalues(Hess);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 
"x:=0;y:=1;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "eigenvalues(
Hess);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "x:=1;y:=0;" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "eigenvalues(Hess);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "x:=-1;y:=0;" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "eigenvalues(Hess);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 124 "Damit man mit den Variablen x und y wied
er als solche fehlerfrei arbeiten kann, muss man diese abschliessend n
och freigeben:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "unassign(
'x'):unassign('y');" }}}}{MARK "3 0 0" 52 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 
1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }