Einf��hrung in die algebraische Geometrie

��bersicht

In dieser Mastervorlesung werden wir die Algebraische Geometrie kennenlernen. Als eines der gr����ten Gebiete der modernen Mathematik geht sie auf jahrhundertealte Konzepte zur��ck. Heutzutage finden algebraisch-geometrische Methoden unter anderem Anwendung in Zahlentheorie, Kombinatorik, Kodierungstheorie, theoretische Physik, Biologie und Robotik. Die zentralen Objekte sind algebraische Variet��ten: die L��sungsmengen von Polynomen in mehreren Ver��nderlichen. Ein wichtiges Beispiel haben wir schon in der Linearen Algebra kennengelernt, n��mlich L��sungen von linearen Gleichungen in mehreren Ver��nderlichen. Sind die Gleichungen jedoch nicht mehr linear, ist schon die Frage, wann eine solches Gleichungssystem eine L��sung hat, sehr viel schwieriger. Mit diesen und ��hnlichen grundlegenden Fragestellungen wollen wir uns besch��ftigen. Dabei arbeiten wir meistens ��ber den komplexen Zahlen, da wir schon im Fall von nur einer Unbekannten (Fundamentalsatz der Algebra) gesehen haben, wie n��tzlich diese Sichtweise ist.

Das Ziel der Vorlesung ist zu vermitteln, wie Algebraische Geometrie eine Br��cke zwischen der Algebra auf der einen Seite (Polynome und Ringe) und der Geometrie auf der anderen Seite (Kurven, Fl��chen etc.) darstellt. Dabei werden nur Grundkenntnisse aus der Algebra vorausgesetzt. Um neben klassischen auch modernere Sichtweisen vorzustellen, wird statt auf Vollst��ndigkeit und Systematik mehr Wert auf Methodik und Konzepte gelegt.

Zeitlicher Plan

Vorlesungen: Dienstags 13:15-15:00 in��G02-106 und Freitags 9:15-11:00 in G22A-113.

Die ��bungen finden w��hrend der angegebenen Vorlesungszeit statt (vermutlich Freitag morgens).

Vorl��ufige Themen

• Affine algebraische Variet��ten (Zariski-Topologie, Hilbertscher Nullstellensatz)
• Projektive Variet��ten
• Quasi-projektive Variet��ten, Morphismen und regul��re Funktionen
• Veronese-Abbildung, Segre-Einbettung
• Rationale Abbildungen, Dimension
• Tangentialraum und glatte Punkte
• Satz von Bezout

��bungen

Bearbeitung der regelm����igen ��bungsbl��tter und eine aktive Teilnahme an den ��bungen wird den H��rer*innen sehr ans Herz gelegt empfohlen. Diese wird jedoch nicht bewertet und dient einzig dem tieferen Verst��ndnis f��r die Themen der Vorlesung.

Pr��fung

Es wird eine m��ndliche Pr��fung am Ende des Semesters geben. Die genauen Pr��fungstermine werden einige Wochen vor Ablauf der Vorlesungszeit bekannt gegeben.

Die m��ndlichen Pr��fungen werden im Zeitraum vom 25.-27. Juli stattfinden.

Literatur

Es gibt eine Unmenge an B��chern ��ber Algebraische Geometrie, die meisten jedoch recht anspruchsvoll. Die Vorlesung orientiert sich sehr grob an folgendem kleinen B��chlein:

Smith, Karen E.; Kahanp����, Lauri; Kek��l��inen, Pekka; Traves, William: An invitation to algebraic geometry. Universitext. Springer-Verlag, New York, 2000. xii+155 pp. ISBN: 0-387-98980-3.

Dieses enth��lt leider nur sehr wenige Details oder Beweise. Hier sind noch zwei vollst��ndigere deutsche B��cher:

Hulek, Klaus: Elementare algebraische Geometrie. Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. Second edition. Aufbaukurs Mathematik. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2012. xii+194 pp. ISBN: 978-3-8348-1964-2; 978-3-8348-2348-9

sowie

Fieseler, Karl-Heinz; Kaup, Ludger: Algebraische Geometrie���Grundlagen. Berliner Studienreihe zur Mathematik, 13. Heldermann Verlag, Lemgo, 2005. vi+239 pp. ISBN: 3-88538-113-3