Die folgenden Beispiele zeigen hochaktuelle Problemstellungen der Mathematik. F��r deren Bearbeitung k��nnen im Studium grundlegende und vertiefende Techniken erlernt werden.
��
Grafik: Michael Klatt
Die Ausbreitung von Epidemien, Waldbraenden oder Fluessigkeiten in poroesem Gestein laesst sich mithilfe von Perkolationen modellieren, wie sie in der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht werden. Bei der sogenannten Kantenperkolation wird z.B. in einem mehrdimensionalen Gitter jede Verbindung zwischen zwei Knotenpunkten mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit entfernt oder beibehalten. Eine typische Fragestellung ist dann das Bestimmen der Groesse der entstehenden Cluster, also der durch beibehaltene Verbindungen
zusammenhaengenden Mengen an Knotenpunkten. Auch wenn Computersimulationen hierzu haeufig schnell eine gute Intuition geben, ist diese Frage bisher nur fuer Spezialfaelle mathematisch praezise beantwortet.
��
Grafik: Martin Henk
Bereits 1611 stellte Johannes Kepler die Frage nach m��glichst dicht gepackten Kugeln und vermutete, dass die nat��rliche Anordnung (siehe Bild) mit einer Dichte von���� / ���18 ��� 74,048% bestm��glich ist. Zwar konnte Carl Friedrich Gau�� bereits 1831 zeigen, dass unter der zus��tzlichen Annahme, dass es sich um eine Gitterpackung handelt, die vermutete Dichte optimal ist, jedoch hat es weitere 167 Jahre gedauert, bis ein erster korrekter Beweis publiziert wurde. Diese Arbeit von Hales basiert jedoch sehr stark auf Computer��berechnungen, deren Akzeptanz als Beweismittel strittig ist.
Offene Problemstellungen gibt es heute dennoch genug, da zum Beispiel f��r praktische Zwecke oftmals eine endliche Anzahl von Kugeln in einer bestimmten Form angeordnet werden soll und die nat��rliche Anordnung nicht mehr bestm��glich ist. Andererseits sind auch Packungen anderer Objekte (z.B. Polyeder) von Interesse. Insbesondere Packungsprobleme mit Gitteranordnung sind aufgrund der zum Einsatz kommenden zahlentheoretischen Methoden in Magdeburg von Interesse.
Grafik: William Cook
Beim Rundreiseproblem geht es darum, eine k��rzeste Tour durch bestimmte St��dte zu finden, bei der jede Stadt genau einmal besucht wird. Alle M��glichkeiten f��r Touren durch die 15112 gr����ten St��dte Deutschlands auszuprobieren, w��rde selbst auf einem Supercomputer ungef��hr 1056570 Jahre dauern. Zum Vergleich: Das Universum ist lediglich etwas ��lter als 1010 Jahre.
Trotz dieser Komplexit��t erlauben es moderne mathematische Methoden, die abgebildete k��rzeste Tour innerhalb weniger Tage zu finden.
Grafik: Hans-Christoph Grunau
Die Verformungsenergie elastischer K��rper modelliert man mit Hilfe eines Kr��mmungsintegrals, des so genannten Willmorefunktionals. Bevorzugt werden von der Natur Formen mit m��glichst kleiner Verformungsenergie. Man kann relativ leicht zeigen, dass unter allen sph��renartigen Fl��chen in der Tat die perfekt runde Sph��re ein Minimum ist. ���Sph��renartig��� sind solche Fl��chen, die man durch Verformen und Dehnen, aber ohne Zuhilfenahme von Schere und Kleber in eine klassische Kugeloberfl��che kontinuierlich ��berf��hren kann: Oberfl��chen von nicht aufgeblasenen Wasserb��llen, Kartoffeln, Bohnen, usw. Bei Fl��chen, die in diesem Sinne vom Typ eines Donuts oder Fahrradschlauchs sind, ist die Antwort viel schwieriger. Sie wurde zwar seit langem vermutet, aber erst vor kurzem von den Mathematikern Fernando Cod�� Marques und Andr�� Neves verifiziert: Hier ist der so genannte Clifford-Torus optimal. Diesen erh��lt man, wenn man einen Kreis in der x-z-Ebene vom Radius 1 und Mittelpunkt auf der x-Achse im Abstand ���2 um die z-Achse rotieren l��sst.
Auch in Magdeburg wird theoretisch und mit Hilfe von Computerberechnungen zum Willmorefunktional geforscht.
Grafik: Volker John
Die Navier-Stokes-Gleichungen modellieren die Str��mung z��her (reibungsbehafteter) inkompressibler Fl��ssigkeiten. Sie entstehen aus einer Bilanz von Reibungs- und Beschleunigungskr��ften sowie einer Gleichung f��r die Massenerhaltung bzw. Inkompressibilit��t. Es handelt sich um ein System von vier Differentialgleichungen f��r die vier gesuchten Funktionen (drei Geschwindigkeitskomponenten und der Druck).
Eines der Millenium-Probleme, f��r deren L��sung ein Preisgeld von je 1 Million US-Dollar ausgelobt wurde, besteht darin zu kl��ren, ob es f��r jedes Anfangsdatum eine klassische physikalisch sinnvolle L��sung gibt, die f��r alle positiven Zeiten existiert. Ungeachtet ungekl��rter theoretischer ��berlegungen werden in Magdeburg sehr erfolgreich Str��mungssimulationen durchgef��hrt.