Bundeswettbewerb Jugend forscht: Mathematik-Projekt r��umt 4. Preis ab

Vom 30. Mai bis 2. Juni fand der diesj��hrige Bundeswettbewerb Jugend forscht in Leverkusen statt. In diesem Jahr war auch die OVGU dabei - vertreten durch die Mathematik-Studenten Dominik Ermel, Jonas Frede und Jan David Schneider mit ihrem Projekt Platonische K��rper als Projektionen kompakter Polyeder. Das zun��chst theoretisch anmutende Projekt kommt aus dem sehr anwendungsnahen Gebiet der Linearen Optimierung, die nicht zuletzt aufgrund des ber��hmten Simplex-Algorithmus jedem fortgeschrittenen Wirtschaftsstudenten ein Begriff sein d��rfte. Die dort zu l��senden Probleme bestehen aus linearen Ungleichungen sowie einer linearen Zielfunktion. Moderne mathematische Software ist heutzutage zwar in der Lage, Lineare Optimierungsprobleme mit hunderttausenden solcher Ungleichungen binnen einiger Sekunden oder Minuten zu l��sen,

aber da Lineare Optimierungsprobleme immer h��ufiger als Unterprobleme auftreten, besteht nach wie vor Verbesserungsbedarf. Um diese Probleme zu verstehen, untersucht man die Struktur der L��sungsmenge - ein Polyeder, bei dem jede Ungleichung eine Seitenfl��che beschreibt. Zur Verbesserung der Optimierung ��ber einem gegebenen Polyeder P mit sehr vielen Seitenfl��chen kann man versuchen, ein anderes Polyeder mit wesentlich weniger Seitenfl��chen zu finden, welches projiziert wieder P ergibt. Die minimale Anzahl an Seitenfl��chen eines solchen anderen Polyeders nennt man Erweiterungs��komplexit��t von P. Im Bild sieht man ein einfaches Beispiel - hier wird ein 2-dimen��sionales Polyeder mit 6 Seitenfl��chen (also ein 6-Eck) als Projektion eines 3-dimensionalen Polyeders mit nur 5 Seitenfl��chen beschrieben. Die Einsparung ist hier nat��rlich gering, kann aber im Allgemeinen sehr gro�� sein. Ein Beispiel aus der Praxis ist z.B. das Spannbaumpolytop der Ordnung n. Dieses beschreibt die Menge aller aufspannenden B��ume im vollst��ndigen Graphen mit n Knoten. Obwohl es ca. 2ⁿ Seitenfl��chen hat, gibt es eine Beschreibung mit nur n³ Seitenfl��chen. Mit genau dieser Frage besch��ftigten sich die Studenten, wobei sie f��r P die f��nf Platonischen K��rper w��hlten. Diese sind zwar grunds��tzlich einfacher als solche, die in den Anwendungen der Mathematik auftreten, es bot sich dennoch ein ausreichender Forschungsspielraum.

Die Erweiterungkomplexit��ten von Tetraeder, W��rfel und Oktaeder kann man mit den bekannten Techniken zwar ermitteln, aber ��ber Ikosaeder und Dodekaeder ist in dieser Hinsicht noch nichts bekannt, au��er dass die Erweiterungs��komplexit��t bei beiden Polyedern gleich ist. Im Rahmen des Projektes arbeiteten sie sich bereits w��hrend ihres 1. Semesters in die notwendige Polyedertheorie ein, lernten Techniken zur Analyse der Erweiterungs��komplexit��t kennen und wendeten diese an. Dabei fanden sie einen recht einfachen Beweis daf��r, dass es keine Erweiterung von Ikosaeder bzw. Dodekaeder mit weniger als 6 Seitenfl��chen geben kann. Mit Hilfe intensiver Berechnungen am Computer k��nnen auch die F��lle mit 6,7 oder 8 Seitenfl��chen ausgeschlossen werden; aller��dings ist noch kein anschaulicher Beweis daf��r bekannt. Da das Ikosaeder selbst 12 Seiten��fl��chen hat, liegt die tats��chliche Erweiterungs��komplexit��t also zwischen 9 und 12.

Im Vorfeld war uns nicht bekannt, dass die M��glichkeit besteht, als Studierende im 1. Semester noch bei Jugend forscht teil��zunehmen. Matthias Walter, einer unserer sp��teren Betreuer, hat sich dann in einer Vorlesung vorgestellt und gefragt, ob jemand Interesse h��tte, an diesem Wettbewerb mitzumachen. Wir haben uns dann mit Matthias und Stefan Weltge f��r ein Thema entschieden, dessen Grundlagen uns von den beiden in den darauffolgenden Wochen in kleinen Privat��vorlesungen genauer erl��utert wurden. Die beiden standen uns au��erdem bei Fragen zum Wettbewerb oder aber der Gestaltung des f��r den sp��teren Wettbewerb notwendigen Posters stets mit offenen Ohren zur Verf��gung. Nat��rlich war auch die eigenst��ndige Ver��fassung der schriftlichen Arbeit ein wichtiger Teil, die wir im Wesentlichen gemeinsam ��ber mehrere Wochen erledigt haben. Kurze Zeit sp��ter war es dann auch so weit: Der Beginn des Regional- sowie Landeswettbewerbs stand vor der T��r. Wir haben auf diesen beiden Wettbewerbsrunden bereits spannende Projekte kennenlernen k��nnen, und mussten unsere

Arbeit erstmalig vor Juroren pr��sentieren, bzw. das Wesentliche unseres Projektes frei zusammenfassen. Am Ende des Landes��wettbewerbs erhielten wir dann die gute Nachricht, dass wir trotz sehr kritischer Fragen der Jury den Landessieg erringen konnten, und somit die Eintrittskarte f��r den Bundes��wettbewerb Jugend forscht in der Hand hielten. Am meisten sind uns wohl die vier spannenden Tage des Bundeswettbewerbs in Leverkusen in Erinnerung geblieben. Angefangen bei der hervorragenden Unterkunft - inklusive sehr leckerer Verpflegung - bis hin zur eigentlichen Ausstellung des Projektes war jeder einzelne Wettbewerbstag ein Highlight. Besonders erw��hnenswert waren die exklusive Location der BayArena, das vielf��ltige Rahmenprogramm, das uns unter anderem zum K��lner Dom und ins Deutsche Sport & Olympia Museum f��hrte, sowie die unglaublich innovativen und qualitativ hervorragenden Projekte der anderen Teilnehmer. Am zweiten Tag fanden die zwei Juryrundg��nge statt, in denen wir die Fragen der durchg��ngig interessierten Juroren beantworten und einige Anmerkungen bekommen konnten.

Selbstverst��ndlich mussten wir unser Projekt auch der ��ffentlichkeit und anderen G��sten pr��sentieren. Dort geschah ein reger Austausch zwischen uns und interessierten Besuchern, und manche wollten sogar unsere schriftliche Fassung zugeschickt bekommen. Den Abschluss bildeten weitere H��hepunkte, u.a. die Verleihung der Sonderpreise in eleganter Atmosph��re und dann am darauffolgenden Tag schlie��lich die Vergabe der von der Jury vergebenen Preise in der BayArena.