Projekte des Instituts für Algebra und Geometrie
Abgeschlossene Projekte
Mathematisches Komplexitätsreduktion (GRK 2297/1)
Laufzeit: 01.04.2017 bis 30.09.2021
Das Projekt wird von den genannten Principal Investigators getragen. Diese sind den Instituten für Mathematische Optimierung (Averkov, Kaibel, Sager), für Algebra und Geometrie (Kahle, Nill, Pott), für Mathematische Stochastik (Kirch, Schwabe) und für Analysis und Numerik (Benner) der Fakultät zugeordnet. Benner ist zudem Direktor des Max-Planck Institutes für Dynamik komplexer technischer Systeme. Die Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik ist über Findeisen beteiligt.
Im Kontext des vorgeschlagenen Graduiertenkollegs (GK) verstehen wir Komplexität als eine intrinsische Eigenschaft, die einen mathematischen Zugang zu einem Problem auf drei Ebenen erschwert. Diese Ebenen sind eine angemessene mathematische Darstellung eines realen Problems, die Erkenntnis fundamentaler Eigenschaften und Strukturen mathematischer Objekte und das algorithmische Lösen einer mathematischen Problemstellung. Wir bezeichnen alle Ansätze, die systematisch auf einer dieser drei Ebenen zu einer zumindest partiellen Verbesserung führen, als mathematische Komplexitätsreduktion.
Für viele mathematische Fragestellungen sind Approximation und Dimensionsreduktion die wichtigsten Werkzeuge auf dem Weg zu einer vereinfachten Darstellung und Rechenzeitgewinnen. Wir sehen die Komplexitätsreduktionin einem allgemeineren Sinne und werden zusätzlich auch Liftings in höherdimensionale Räume und den Einfluss der Kosten von Datenerhebungen systematisch untersuchen. Unsere Forschungsziele sind die Entwicklung von mathematischer Theorie und Algorithmen sowie die Identifikation relevanter Problemklassen und möglicher Strukturausnutzung im Fokus der oben beschriebenen Komplexitätsreduktion.
Unsere Vision ist ein umfassendes Lehr- und Forschungsprogramm, das auf geometrischen, algebraischen, stochastischen und analytischen Ansätzen beruht und durch effiziente numerische Implementierungen komplementiert wird. Die Doktorandinnen und Doktoranden werden an einem maßgeschneiderten Ausbildungsprogramm teilnehmen. Dieses enthält unter anderem Kompaktkurse, ein wöchentliches Seminar und ermutigt zu einer frühzeitigen Integration in die wissenschaftliche Community. Wir erwarten, dass das GK als ein Katalysator zur Etablierung dieser erfolgreichen DFG-Ausbildungskonzepte an der Fakultät für Mathematik dienen und zudem helfen wird, die Gleichstellungssituation zu verbessern.
Die Komplexitätsreduktion ist ein elementarer Aspekt der wissenschaftlichen Hintergründe der beteiligten Wissenschaftler. Die Kombination von Expertisen unterschiedlicher mathematischer Bereiche gibt dem GK ein Alleinstellungsmerkmal mit großen Chancen für wissenschaftliche Durchbrüche. Das GK wird Anknüpfungspunkte an zwei Fakultäten der OVGU, an ein Max Planck Institut und mehrere nationale und internationale Forschungsaktivitäten in verschiedenen wissenschaftlichen Communities haben. Die Studierenden im GK werden in einer Fülle von mathematischen Methoden und Konzepten ausgebildet und erlangen dadurch die Fähigkeit, herausfordernde Aufgaben zu lösen. Wir erwarten Erfolge in der Forschung und in der Ausbildung der nächsten Generation führender Wissenschaftler in Akademia und Industrie.
Kombinatorik über Galoisringen
Laufzeit: 01.04.2017 bis 31.03.2021
Galoisringe sind sehr interessante Ringe, die in vielen Aspekten ähnliche Eigenschaften aufweisen wie endliche Körper. Es ist demnach naheliegend, Konstruktionen kombinatorischer Objekte (beispielsweise Designs) aus endlichen Körpern analog in Galoisringen durchzuführen. Dieses Projekt widmet sich den Fragen, ob diese analogen Konstruktionen zu nicht-isomorphen Objekten führen, und ob weitere Konstruktionen aus endlichen Körpern genutzt werden können, um beispielsweise nicht-isomorphe Sequenzen in Galoisringen zu konstruieren.
Verallgemeinerte Bent Funktionen
Laufzeit: 01.10.2015 bis 31.12.2020
In diesem Projekt soll das Studium von verallgemeinerten bent Funktionen fortgesetzt werden. Das Projekt läuft unter enger Zusammenarbeit mit Prof. Wilfried Meidl vom Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM) Linz (Österreich) sowie Nurdagül Anbar (Sabanci University) und Pantelimon Stanica (Monterey, Naval Research Institute).
Bent Funktionen
Laufzeit: 01.01.2016 bis 30.09.2020
Es werden die Klassifikation und die Konstruktion von bent Funktionen vom Grad 3 sowie von homogenen bent Funktionen untersucht sowie außerdem sowie die Untersuchung der zugehörigen kombinatorischen Inzidenzstrukturen.
Die Zyklenstruktur von Permutationspolynomen
Laufzeit: 01.04.2017 bis 30.09.2020
Ziel des Projektes ist es, die Zyklenstruktur von Permutationen von endlichen Körpern zu bestimmen, die als Polynome gegeben sind.
Kooperation mit Prof.in Dr. Gohar Kyureghyan (Universität Rostock).
Kombinatorische Design Theorie
Laufzeit: 01.10.2017 bis 30.09.2019
Das Studium von nicht linearen Funktionen umfasst bent Funktionen, APN Funktionen, PN Funktionen und viele mehr, die vor dem Hintergrund kryptographischer Anwendungen entstanden sind. Viele dieser Funktionen korrespondieren mit interessanten kombinatorischen Objekten aus der Design Theorie. Ziel ist es, diesen Zusammenhang weiter zu untersuchen. Wir erwarten, dass die kombinatorischen Strukturen bei der Untersuchung der nicht linearen Funktion nützlich sind.
Mitarbeiter in diesem Projekt ist Shuxing Lie.
Almost perfect nonlinear functions
Laufzeit: 01.10.2014 bis 30.09.2018
Das Ziel dieses Projektes "Almost perfect nonlinear functions" ist es, die Konstruktionen klassischer "APN"-Funktionen genauer zu analysieren, um daraus mögliche neue Konstruktionen abzuleiten. Mitarbeiter in diesem Projekt ist Herr Razi Arshad.
Semifields
Laufzeit: 01.09.2013 bis 30.08.2015
"Semifields" sind algebraische Strukturen, die ähnliche Eigenschaften wie Körper haben. Alexander Pott als verantwortlicher Projektleiter untersucht gemeinsam mit Ferruh Özbudak, Yue Zhou und Kai-Uwe Schmidt Eigenschaften von solchen Semifields, insbesondere deren Komponentenfunktionen.
Bent-Funktionen
Laufzeit: 01.10.2011 bis 30.09.2013
In Zusammenarbeit mit Frau Dr. Ayca Cesmelioglu und Herrn Professor Wilfried Meidl von der Sabanci Universität in Instanbul (Türkei) werden Bent-Funktionen untersucht, insbesondere deren Grad sowie die Frage der Regularität und Normalität.
Boole'sche und vektorielle Abbildungen auf endlichen Körpern
Laufzeit: 01.10.2011 bis 30.09.2013
Gemeinsam mit Frau Wei Su werden Boole'sche und vektorielle Abbildungen auf endlichen Körpern untersucht. Im Mittelpunkt stehen dabei Fragen zur Korrelation von Abbildungen und die Klassifikation von Abbildungen.
Endliche Körper und Endliche Geometrie
Laufzeit: 01.10.2009 bis 30.09.2013
Wir konstruieren neue semifields und entwickeln Methoden, diese bis auf Äquivalenz zu unterscheiden. Wir untersuchen auch Teilstrukturen von projektiven Ebenen, die durch semifields konstruiert werden.
Sequenzen und ihre Korrelationseigenschaften
Laufzeit: 01.10.2011 bis 30.09.2013
Wir untersuchen Sequenzen und deren Korrelationseigenschaften. Dabei werden auch (partielle und relative) Differenzmengen angewendet. Ziel ist die Beschreibung innovativer Konstruktionsmethoden, weil die klassischen Verfahren (direct product methods, cycloting) an ihre Grenzen stoßen.
Almost perfect and perfect functions: An algebraic-geometric approach
Laufzeit: 01.06.2010 bis 30.05.2012
In diesem Forschungsprojekt geht es um die Konstruktion und Klassifikation von "(almost) perfect nonlinear mappings". Dabei sollen insbesondere Methoden aus der algebraischen Geometrie Anwendung finden.
New constructions of planar and almost perfect nonlinear functions
Laufzeit: 01.01.2010 bis 31.12.2011
Relative difference sets and similar structures (planar functions, almost perfect nonlinear functions) can be modified using a certain switching construction ("project-and-lift"). This idea is due to John Dillon, Yves Edel and Alexander Pott. In this project, we will investigate the strength but also the limitations of the switching idea.
Verallgemeinerte bent Funktionen
Laufzeit: 01.10.2009 bis 30.09.2011
Die Menge der verallgemeinerten bent-Funktionen GF(q^n) \rightarrow GF(q^m), m
Semifields and APN functions
Laufzeit: 01.01.2010 bis 31.12.2010
Almost perfect nonlinear functions (APN) may be viewed as the even characteristic generalization of planar functions. Planar functions provide us with a rich combinatorial (projective planes) and algebraic (commutative semifields) structure. In this project, we investigate possible generalizations of semifields to the APN situation.
Perfekte und fast perfekte Folgen
Laufzeit: 01.10.2006 bis 31.12.2009
In der Kryptographie werden häufig binäre Funktionen benötigt, die resistent gegen lineare und differenzielle Attacken sind. Perfekte und fast perfekte Folgen sind in dieser Hinsicht optimal. Es gibt einige Klassen solcher Funktionen. Ziel des Projektes ist es, weitere Funktionen zu finden oder zu zeigen, dass es keine weiteren geben kann.
Relative Differenzmengen und Verallgemeinerungen
Laufzeit: 01.10.2007 bis 31.03.2009
Das Studium relativer Differenzmengen ist sowohl von Seiten der Geometrie (projektive und affine Ebenen) als auch der Signalverarbeitung (Sequenzen mit guten Korrelationseigenschaften) von Interesse. In diesem Projekt sollen neue notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz solcher Differenzmengen gefunden werden.
Der Zusammenhang zwischen "CCZ-Äquivalenz" von APN-Funktionen und Codierungstheorie wird untersucht
Laufzeit: 01.01.2007 bis 31.12.2007
Das Studium "fast perfekter Abbildungen" auf endlichen Körpern der Charakteristik 2 ist durch Anwendungen in der Kryptografie (S-Boxen) motiviert. Die Klassifikation solcher Abbildungen ist ein seit vielen Jahren offenes und viel bearbeitetes Problem. Ein Teilproblem bei einer solchen Klassifikation wird sein, "CCZ-äquivalente" Abbildungen zu identifizieren. Gemeinsam mit Yves Edel wird diese Frage untersucht, wobei insbesondere die codierungstheoretische Interpretation von CCZ-Äquivalenz benutzt wird.
Functions which are relevant in cryptography
Laufzeit: 01.01.2005 bis 31.12.2007
In cryptographic applications, one is interested in functions $F: \mathbb{F}_2^n \rightarrow \mathbb{F}_2^m$ with good differential and linear properties. The linear properties are related to the Welsh spectrum of F, the differential properties we related to the "differential spectrum". In this project, we try to find and classifys new functions.
Untersuchung verallgemeinerter Fourier-Spektren und planarer Funktionen
Laufzeit: 01.01.2004 bis 31.12.2007
Bei vielen Untersuchungen in der Datenübertragung spielt die Fourier-Transformation eine große Rolle. Es gibt aber noch weitere unitäre Transformationen, die für diverse Anwendungen Bedeutung haben (beispielsweise bei der Analyse aperiodischer Korrelationsspektren). In diesem Projekt sollen einige besonders wichtige Verallgemeinerungen untersucht werden.
Kodierungstheorie und Kryptografie
Laufzeit: 01.01.2004 bis 31.12.2005
In dem Projekt werden zusammen mit Wissenschaftlern der Universität Bergen (Norwegen) diverse Probleme aus der Kodierungstheorie und Kryptografie bearbeitet. Insbesondere - "Fingerprinting"- fast perfekte und perfekte Funktionen auf endlichen Körpern- zyklische Differenzmengen
Automorphismen von extremalen Codes der Längen 96 und 120
Laufzeit: 01.04.2009 bis 31.03.2012
Extremale Codes haben optimale Eigenschaften hinsichtlich der Fehlerkorrektur bei der Datenübertragung. Bis heute sind jedoch nur ganz wenige solcher Codes bekannt. Mögliche Automorphismengruppen könnten beim Aufsuchen neuer Codes entscheidend helfen. Im Zentrum der Untersuchungen stehen die Automorphismengruppen der extremalen Codes der Länge 72 und 96.
Existenz und Konstruktion extremaler Codes
Laufzeit: 01.09.2008 bis 15.12.2011
Extremale Codes kann es nur bis zu einer Länge von 3964 geben. Bekannt sind nur Codes bis zur Länge 156. Es klafft also eine große Lücke zwischen der theoretisch bewiesenen Schranke und dem, was wir konstruieren können. Aufgabe des Projektes ist es, weitere Klarheit zu schaffen; insbesondere extremale Codes mit zusätzlichen Eigenschaften, etwa QR, zu klassifizieren.
Grade von irreduziblen Charakteren
Laufzeit: 01.10.2009 bis 30.09.2010
Höhere Frobenius-Schur-Indikatoren geben Aufschluss über die Struktur gewisser Permutationsmoduln. Für p = 2 weiß man relativ viel, p \not= 2 steht im Zentrum der Untersuchungen. In der Blocktheorie wird eine Klassifikation sämtlicher endlicher Gruppen mit genau zwei Blöcken angestrebt.
Bilinearformen und Morita-Äquivalenz
Laufzeit: 01.01.2007 bis 31.12.2008
Dies ist ein Teilprojekt des Projektes "Bilinearformen und Invarianten in der Darstellungstheorie", für welches PD Dr. Thorsten Holm auf deutscher Seite federführend ist. In Kooperation mit Prof. Dr. A. Zimmermann, Université de Picardie, Amiens,
wird untersucht, inwieweit die Morita-Äquivalenz metrische Invarianten respektiert.
Representation Theory and Coding Theory
Laufzeit: 01.01.2005 bis 31.12.2008
Im Zentrum der Untersuchungen stehen darstellungstheoretische Methoden in der Codierungstheorie. Das Projekt "Representation Theory and Coding Theory" wird bezahlt aus Mitteln des Projektes MTM2004-08219-C02-01. Es läuft über den Zeitraum 2005 bis 2008 in Zusammenarbeit mit der Universidad de Zaragoza. Dort verantwortlich für das Projekt ist Prof. Dr. J. Lafuente.
Representation theory and the theory of finite groups
Laufzeit: 01.01.2006 bis 31.12.2007
Gemeinsames Projekt mit chinesischen Wissenschaftlern der "Sino-German Cooperation Group" in der Darstellungs- und Gruppentheorie. Finanzierung des Projektes durch die DFG und NSFC. Es läuft über einen Zeitraum von zwei Jahren. Sowohl auf deutscher als auch chinesischer Seite sind mehrere Universitäten beteiligt.
Entwicklung von Unterrichtskonzepten für die Behandlung graphentheoretischer Elemente im Mathematikunterricht
Laufzeit: 01.10.2010 bis 30.09.2012
Bei der Entwicklung von Unterrichtskonzepten für die Behandlung graphentheoretischer Elemente im Mathematikunterricht liegt der Schwerpunkt in der Aufbereitung der Materialien für die Fortbildung von Mathematiklehrerinnen und -lehrern. Desweiteren erfolgen Untersuchungen zur mathematischen Modellierung im Mathematikunterricht am Beispiel der Behandlung von Anwendungsproblemen aus der Graphentheorie. Die Methode der Aufgabenvariation im Mathematikunterricht wird in weiteren Detailfragen analysiert, insbesondere geht es um Vernetzungsmöglichkeiten (innermathematisch und außermathematisch) im Unterricht.
Veröffentlichung:
Leneke, B. "Knoten, Wege, Graphen und Gerüste - Modelle der Graphentheorie im Mathematikunterricht", in: Henning, H., Freise, F. (Hrsg.): Realität und Modell, Mathematik in Anwendungssituationen, WTM Verlag für wissenschaftliche Texte und Medien, Münster, 2011, S. 170 - 183