Das Projekt wird von den genannten Principal Investigators getragen. Diese sind den Instituten für Mathematische Optimierung (Kaibel, Sager), für Algebra und Geometrie (Kahle), für Mathematische Stochastik (Kirch, Janßen) und für Analysis und Numerik (Benner, Richter, Heiland) der Fakultät zugeordnet. Benner ist zudem Direktor des Max-Planck Institutes für Dynamik komplexer technischer Systeme. Die Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik ist über Findeisen beteiligt.

Im Kontext des vorgeschlagenen Graduiertenkollegs (GK) verstehen wir Komplexität als eine intrinsische Eigenschaft, die einen mathematischen Zugang zu einem Problem auf drei Ebenen erschwert. Diese Ebenen sind eine angemessene mathematische Darstellung eines realen Problems, die Erkenntnis fundamentaler Eigenschaften und Strukturen mathematischer Objekte und das algorithmische Lösen einer mathematischen Problemstellung. Wir bezeichnen alle Ansätze, die systematisch auf einer dieser drei Ebenen zu einer zumindest partiellen Verbesserung führen, als mathematische Komplexitätsreduktion.

Für viele mathematische Fragestellungen sind Approximation und Dimensionsreduktion die wichtigsten Werkzeuge auf dem Weg zu einer vereinfachten Darstellung und Rechenzeitgewinnen. Wir sehen die Komplexitätsreduktionin einem allgemeineren Sinne und werden zusätzlich auch Liftings in höherdimensionale Räume und den Einfluss der Kosten von Datenerhebungen systematisch untersuchen. Unsere Forschungsziele sind die Entwicklung von mathematischer Theorie und Algorithmen sowie die Identifikation relevanter Problemklassen und möglicher Strukturausnutzung im Fokus der oben beschriebenen Komplexitätsreduktion.

Unsere Vision ist ein umfassendes Lehr- und Forschungsprogramm, das auf geometrischen, algebraischen, stochastischen und analytischen Ansätzen beruht und durch effiziente numerische Implementierungen komplementiert wird. Die Doktorandinnen und Doktoranden werden an einem maßgeschneiderten Ausbildungsprogramm teilnehmen. Dieses enthält unter anderem Kompaktkurse, ein wöchentliches Seminar und ermutigt zu einer frühzeitigen Integration in die wissenschaftliche Community. Wir erwarten, dass das GK als ein Katalysator zur Etablierung dieser erfolgreichen DFG-Ausbildungskonzepte an der Fakultät für Mathematik dienen und zudem helfen wird, die Gleichstellungssituation zu verbessern.

Die Komplexitätsreduktion ist ein elementarer Aspekt der wissenschaftlichen Hintergründe der beteiligten Wissenschaftler. Die Kombination von Expertisen unterschiedlicher mathematischer Bereiche gibt dem GK ein Alleinstellungsmerkmal mit großen Chancen für wissenschaftliche Durchbrüche. Das GK wird Anknüpfungspunkte an zwei Fakultäten der OVGU, an ein Max Planck Institut und mehrere nationale und internationale Forschungsaktivitäten in verschiedenen wissenschaftlichen Communities haben. Die Studierenden im GK werden in einer Fülle von mathematischen Methoden und Konzepten ausgebildet und erlangen dadurch die Fähigkeit, herausfordernde Aufgaben zu lösen. Wir erwarten Erfolge in der Forschung und in der Ausbildung der nächsten Generation führender Wissenschaftler in Akademia und Industrie.

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Stochastische Netzwerke sind zufällige Graphen, die sich zeitdynamisch entwickeln, und zur Modellierung von Verbindungen (z.B. Freundschaften, Nahrichtenaustausch, etc.) zwischen Netzwerkteilnehmern im Zeitverlauf eingesetzt werden können. Eine Vielzahl von mathematischen Modellen existiert für die Spezifikation dieser Prozesse und für viele Anwendungen haben sich die sogenannten "Preferential Attachment Modelle" als sinnvoll erwiesen, in denen die Wahrscheinlichkeit für das Entwickeln einer neuen Verbindung positiv von der Anzahl der bereits vorhandenen Verbindngen eines Objektes abhängt. In diesen Modellen treten auf natürlichem Wege (Grad-)Verteilungen mit schweren Tails auf, wenn die Netzwerkgröße gegen unendlich geht. Bisher wurde jedoch allein dieses asymptotische Verhalten untersucht ohne Rücksicht auf die Tatsache, dass wir in der Realität stets Netzwerke mit einer endlichen, zufälligen Anzahl von Teilnehmern beobachten. Das Ziel dieses Projektes ist es, diese Zufälligkeit in die Modellierung von stochastischen Netzwerken einfließen zu lassen und die resultierenden Netzwerke im Rahmen der Methoden der Extremwerttheorie zu untersuchen.

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Ziel dieses Projekts ist die Erforschung von Erweiterungen der klassischen Dimensionsreduktionstechnik der Hauptkomponentenanalyse (PCA) im Rahmen der multivariaten Extremwerttheorie. In diesem Rahmen besteht eine Herausforderung darin, dass im natürlichen Modellierungsrahmen nicht-negativer, maximal stabiler Vektoren die orthogonale Zerlegung im euklidischen Raum, die hinter der PCA für normalverteilte Daten steht, nicht mehr anwendbar ist. Stattdessen bietet sich die Max-Times-Algebra als geeigneterer Rahmen für eine Zerlegung der Abhängigkeitsstruktur an. In diesem Projekt wird untersucht, wie eine optimale Projektion eines max-stabilen Vektors in einen niedrigdimensionalen Raum effizient implementiert und theoretisch begründet werden kann und wie wir das Ergebnis für bestimmte Klassen von Modellen interpretieren können

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In diesem Projekt geben wir einen Überblick über verschiedene Clustering-Methoden für Extreme, indem wir Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen den drei Methoden k-means clustering, k-principal components clusterming und spherical clustering beleuchten, die auf das (geschätzte) Spektralmaß einer multivariaten Extremwertverteilung angewendet werden. Außerdem sollen einige praktische Leitlinien für die Umsetzung aller drei Methoden gegeben werden.
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In diesem Projekt wird der allgemeine Begriff des Clusterprozesses als Grenzwertprozess für die Wiederkehr eines bestimmten Ereignisses in einer Zeitreihe eingeführt, wobei ein besonderer Schwerpunkt auf Extremen liegt. Unter milden Stationaritätsannahmen der zugrundeliegenden Zeitreihe hat der begrenzende Prozess bestimmte Invarianzeigenschaften. Von besonderem Interesse sind dabei die Clustergrößenverteilungen, bei denen man zwischen einer typischen und einer inspizierten Clustergröße unterscheiden muss, die sich in ihren Eigenschaften unterscheiden. Als zentrales Ergebnis dieses Projekts leiten wir eine Art "Inspektionsparadoxon" für extreme Cluster ab.
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Für die Extremwertanalyse multivariater Daten ist die (empirische) Schwanzkorrelationsmatrix ein wichtiges Merkmal zur Messung der extremen Abhängigkeit. In diesem Projekt erforschen wir die Eigenschaften dieser Matrix und ihre Verbindung zu maximal stabilen Darstellungen der zugrunde liegenden Abhängigkeitsstruktur weiter. Durch die Einbettung der Korrelationsmatrix in eine Distanzfunktion und die anschließende Vereinfachung dieser Distanzfunktion in Form von Linien- und Baummetriken erkennen wir extreme Abhängigkeitsmuster.
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Diese Arbeit ist Teil des Promotionsprojekts von Sebastian Neblung, für den ich der Zweitbetreuer bin.

In diesem Projekt führen wir einen neuen Typ von Schätzer für den spektralen Schwanzprozess einer regelmäßig variierenden Zeitreihe ein. Der Ansatz basiert auf einer charakterisierenden Invarianzeigenschaft des spektralen Schweifprozesses, die in Janßen (2019) hergeleitet wurde und über eine Projektionstechnik in den neuen Schätzer einfließt. Basierend auf den Grenzwertergebnissen für empirische Tail-Prozesse, die in Drees & Neblung (2019) entwickelt wurden, zeigen wir einheitliche asymptotische Normalität dieses Schätzers sowohl im Falle eines bekannten als auch eines unbekannten Index der regelmäßigen Variation. Eine Simulationsstudie illustriert, dass das neue Verfahren eine oft stabilere Alternative zu bisherigen Schätzern darstellt.
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