Einführung in die algebraische Geometrie
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Übersicht
In dieser Mastervorlesung werden wir die Algebraische Geometrie kennenlernen. Als eines der größten Gebiete der modernen Mathematik geht sie auf jahrhundertealte Konzepte zurück. Heutzutage finden algebraisch-geometrische Methoden unter anderem Anwendung in Zahlentheorie, Kombinatorik, Kodierungstheorie, theoretische Physik, Biologie und Robotik. Die zentralen Objekte sind algebraische Varietäten: die Lösungsmengen von Polynomen in mehreren Veränderlichen. Ein wichtiges Beispiel haben wir schon in der Linearen Algebra kennengelernt, nämlich Lösungen von linearen Gleichungen in mehreren Veränderlichen. Sind die Gleichungen jedoch nicht mehr linear, ist schon die Frage, wann eine solches Gleichungssystem eine Lösung hat, sehr viel schwieriger. Mit diesen und ähnlichen grundlegenden Fragestellungen wollen wir uns beschäftigen. Dabei arbeiten wir meistens über den komplexen Zahlen, da wir schon im Fall von nur einer Unbekannten (Fundamentalsatz der Algebra) gesehen haben, wie nützlich diese Sichtweise ist.
Das Ziel der Vorlesung ist zu vermitteln, wie Algebraische Geometrie eine Brücke zwischen der Algebra auf der einen Seite (Polynome und Ringe) und der Geometrie auf der anderen Seite (Kurven, Flächen etc.) darstellt. Dabei werden nur Grundkenntnisse aus der Algebra vorausgesetzt. Um neben klassischen auch modernere Sichtweisen vorzustellen, wird statt auf Vollständigkeit und Systematik mehr Wert auf Methodik und Konzepte gelegt.
Zeitlicher Plan
Siehe LSF.
Vorläufige Themen
- Affine algebraische Varietäten (Zariski-Topologie, Hilbertscher Nullstellensatz)
- Projektive Varietäten
- Quasi-projektive Varietäten, Morphismen und reguläre Funktionen
- Produkte projektiver Räume
- Funktionenkörper
- Tangentialraum und glatte Punkte
- Gröbner-Basen
Übungen
Bearbeitung von wöchentlichen Übungsblättern und eine aktive Teilnahme wird den Hörer*innen sehr ans Herz gelegt. Diese wird jedoch nicht bewertet und dient einzig dem tieferen Verständnis für die Themen der Vorlesung.
Prüfung
Mündliche (Teil-)Modulprüfung.
Literatur
Es gibt eine Unmenge an Büchern über Algebraische Geometrie, die meisten jedoch recht anspruchsvoll. Die Vorlesung orientiert sich sehr grob an folgendem kleinen Büchlein:
Smith, Karen E.; Kahanpää, Lauri; Kekäläinen, Pekka; Traves, William: An invitation to algebraic geometry. Universitext. Springer-Verlag, New York, 2000. xii+155 pp. ISBN: 0-387-98980-3.
Dieses enthält leider nur sehr wenige Details oder Beweise. Dafür sei auf folgendes englischsprachiges Buch verwiesen (das weit über unsere Vorlesung hinausgeht): https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-84800-056-8. Hier sind noch zwei vollständigere deutsche Bücher:
Hulek, Klaus: Elementare algebraische Geometrie. Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. Second edition. Aufbaukurs Mathematik. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2012. xii+194 pp. ISBN: 978-3-8348-1964-2; 978-3-8348-2348-9
sowie
Fieseler, Karl-Heinz; Kaup, Ludger: Algebraische Geometrie—Grundlagen. Berliner Studienreihe zur Mathematik, 13. Heldermann Verlag, Lemgo, 2005. vi+239 pp. ISBN: 3-88538-113-3
Sehr empfehlenswert ist auch das deutsche Skript zur Vorlesung von Prof. Gathmann:
https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/de/alggeom.php
Was das Thema am Schluss angeht (Gröbnerbasen), so wird das ausführlich hier behandelt:
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-16721-3
Ein schönes deutsches Skript von Prof. Braun findet sich hier:
https://www.math.uni-duesseldorf.de/~internet/ak_18/vorlesung.pdf