FAKULTÄT FÜR

MATHEMATIK

Einen guten Überblick über meine aktuellen Interessen geben diese Vorträge: Marburg, Perugia, Darmstadt.

Randwertprobleme für Willmoreflächen

Die Willmoregleichung, d.h. die Euler-Lagrange-Gleichung zum Willmorefunktional, zählt zu den wichtigen und anspruchsvollen Herausforderungen der nichtlinearen Analysis: Sie ist quasilinear und von vierter Ordnung; viele aus der Theorie von Gleichungen und Systemen zweiter Ordnung her wohlbekannte Methoden versagen zu einem großen Teil. Dennoch konnten in letzter Zeit einige bemerkenswerte Fortschritte u.a. von L. Simon, E. Kuwert, R. Schätzle, T. Riviere u.a. erzielt werden. Bislang wurde das Willmorefunktional meist nur auf unberandeten kompakten Mannigfaltigkeiten studiert, da hier großer Gewinn aus globalen differentialgeometrischen Eigenschaften gezogen werden konnte. Hinsichtlich Randwertproblemen liegen erst ganz wenige Resultate vor: Die ohnehin schwierige Gewinnung von Kompaktheit / Abschätzungen wird hier nochmals komplizierter. In einem gemeinsamen Projekt mit Klaus Deckelnick und Friedhelm Schieweck wollen wir mit numerischen Studien und analytischen Untersuchungen von Randwertproblemen in symmetrischen Prototypsituationen beginnen und damit eine Richtung aufzeigen, unter welchen Bedingungen zu erwarten sein wird, mit a-priori-beschränkten Minimalfolgen arbeiten und a-priori-beschränkte klassische Lösungen erhalten zu können. Als studentische Hilfskraft hat hierzu Herr Lenor eine Reihe von Bildern produziert. Die Kollegen Klaus Deckelnick und Friedhelm Schieweck wollen numerische Algorithmen und Konvergenzsätze in allgemeineren Situation entwickelen, z.B. für Graphen über zweidimensionalen Gebieten. Diesbezügliche Ergebnisse könnten Entwicklungen hin zu parametrisch beschriebenen Flächen vorbereiten.
Förderung durch Deutsche Forschungsgemeinschaft, 1.10.2008-30.09.2010. Projektmitarbeiterin war Anna Dall'Acqua.

Qualitative Eigenschaften von Lösungen elliptischer Randwertprobleme höherer Ordnung

Als einfachsten Prototyp kann man hier an die Gleichung der eingespannten Platte denken, d.h. an den biharmonischen Operator unter Dirichletrandbedingungen. Von besonderem Interesse sind Positivitätseigenschaften: Unter welchen Bedingungen an das Problem (Gebiet, Differentialoperator) ziehen positive Daten positive Lösungen nach sich? Die Antwort auf diese Frage fällt recht differenziert aus: es sind sowohl Beispiele von Gebieten mit stets vorzeichenerhaltenden Lösungen als auch von solchen mit vorzeichenwechselnden Lösungen bekannt. Mein Hauptaugenmerk liegt auf positiven Resultaten: z.B. ist die Gleichung der eingespannten Platte in Gebieten positivitätserhaltend, die nicht zu sehr vom Kreis abweichen.
Neben ihrer anschaulichen Bedeutung sollen diese Untersuchungen vor allem auch Anwendung auf nichtlineare Gleichungen finden. Erste Erfolge konnten hier bereits erreicht werden, eine befriedigende Antwort auf die Frage, inwiefern die (eingeschränkt gültigen) Positivitätsresultate  Auswirkung auf die nichtlinearen Randwertprobleme höherer Ordnung haben, scheint aber derzeit noch nicht in Sicht zu sein.
Mittel- bis langfristig erhoffe ich mir hier Fortschritte bei Problemen aus der Physik (Mechanik, Hydrodynamik) und Differentialgeometrie.

In diesem Bereich arbeite ich mit Guido Sweers (Köln, TU Delft) und Frederic Robert zusammen.

Semilineare Eigenwertprobleme mit kritischem Wachstum

Diese Gleichungen stehen in engem Zusammenhang mit Problemen aus der konformen Geometrie. Zum einen interessiert mich hier im Anschluß an sehr bekannte Arbeiten u.a. von Brezis-Nirenberg und Pucci-Serrin die Frage, auf welche Weise die von den Problemen zweiter Ordnung her bekannten Resultate Verallgemeinerungen  auf Probleme beliebiger Ordnung erfahren. Zum anderen möchte ich  versuchen, Verbindungen zur Theorie qualitativer Eigenschaften von Lösungen herzustellen. In diesem Zusammenhang konnte eine abgeschwächte Version einer Vermutung von Pucci und Serrin bewiesen werden, die das Phänomen der "kritischen Dimensionen" für polyharmonische semilineare Dirichletprobleme zum Gegenstand hat. Ein Beweis der ursprünglichen Vermutung stellt immer noch eine Herausforderung dar.
In letzter Zeit konnten die Verbindungen zu den weiter oben genannten Positivitätsresultaten weiter ausgebaut werden, vor allem mit Hilfe der Zerlegung von Funktionen in Sobolevräumen höherer Ordnung bezüglich Paaren zueinander dualer Kegel. Diese ersetzt die in diesen Räumen nicht mehr zulässige Zerlegung in Positiv- und Negativteil und gestattet eine effiziente Beschreibung der Kompaktheitseigenschaften der beteiligten Variationsfunktionale.
In diesem Bereich ist die Zusammenarbeit besonders intensiv mit Filippo Gazzola.

Biharmonische Gleichungen mit superkritischem Wachstum

Variationstechniken stehen nicht mehr zur Verfügung, stattdessen sind Vergleichsprinzipien, Ober-/Unterfunktionstechniken und im Falle radialsymmetrischer Lösungen Methoden aus dem Bereich dynamischer Systeme anzuwenden. Die Verbindung von superkritischem Wachstum und Differentialoperatoren höherer Ordnung sorgt für technisch subtile Schwierigkeiten. Auch hier arbeite ich mit Filippo Gazzola zusammen.

Parabolische Systeme mit kritischem Wachstum

Untersucht wurden semilineare Systeme, bei denen das Wachstum der nichtlinearen Terme kritisch ist bzgl. der Energienorm schwacher Lösungen, d.h. sogenanntes kontrolliertes Wachstum: Ohne weitere Voraussetzungen (wie etwa Vorzeichenbedingungen) ist dann jede schwache Lösung stark. Dieses Regularitätsresultat, das gemeinsam mit Wolf von Wahl erzielt wurde, basiert auf einer Kontinuitätsmethode, bei der die Zeit als Kontinuitätsparameter verwendet wird.
Zum Anderen wurden geometrische Evolutionsprobleme betrachtet, mit deren Hilfe Hermitesch-harmonische Abbildungen zwischen nichtkompakten vollständigen Mannigfaltigkeiten konstruiert werden. Dieses System ist semilinear, quadratisch im Gradienten und nicht in Divergenzform.

Navier-Stokes-Gleichungen

Hier liegt mein Interesse auf instationären Außenraumproblemen mit nicht verschwindender Anströmgeschwindigkeit im Unendlichen. Untersucht werden die Regularitätseigenschaften geeigneter schwacher Lösungen sowie das zeitasymptotische Verhalten von Störungen stabiler stationärer Lösungen.