FAKULTÄT FÜR

MATHEMATIK

Forschungsinteressen

• Randwertprobleme für Willmoreflächen
• Qualitative Eigenschaften von Lösungen elliptischer Randwertprobleme höherer Ordnung
• Semilineare Eigenwertprobleme mit kritischem Wachstum
• Biharmonische Gleichungen mit superkritischem Wachstum
• Parabolische Systeme mit kritischem Wachstum
• Navier-Stokes-Gleichungen

Preiswerte Mathematik 

Ein Versuch, die sieben Milleniums-Preisaufgaben des Clay Mathematics Institute allgemein verständlich zu beschreiben.
Aktualisierte Version des Beitrags für das Magdeburger Wissenschaftsjournal 45-50, vol.1 (2004).

Was die Mathematik vom Wasser lernen kann 

Ein Versuch, die Grundidee der Variationsrechnung an einem konkreten Beispiel allgemein verständlich zu erläutern.
In gekürzter Form am 13. Oktober 2008 in der Wochenendbeilage der Magdeburger Volksstimme erschienen.

M.Sc. Boris Gulyak

Seminar über Differentialgeometrie und Analysis

Monographie

Gazzola, F.; Grunau, H.-Ch.; Sweers, G.:
Polyharmonic boundary value problems,
Positivity preserving and nonlinear higher order elliptic equations in bounded domains.
Springer Lecture Notes in Mathematics 1991, Springer-Verlag: Heidelberg etc., 2010.
[Pdf]
[Errata] (as uncovered so far)
Copyright: Springer-Verlag. The original monograph is available on http://link.springer.com/

Vorlesungsausarbeitung

Grunau, H.-Ch.:
Abbildungsgrad und Fixpunktsätze (Degree of mapping and fixed point theorems),
Vorlesungsausarbeitung, basiert auf Vorlesungen von E. Heinz (Göttingen)
Lecture notes, based upon lectures of E. Heinz (Göttingen)
[Ps] [Pdf]

Lehrbuch

Grauert, H., Grunau, H.-Ch.:
Lineare Algebra und analytische Geometrie,
Copyright: Oldenbourg-Verlag, 1999-2009.
Ab 2009: Alle Rechte bei den Autoren.
[PS-Datei] [DVI-Datei] [PDF-Datei]

Artikel

Grunau, H.-Ch.; Müller, M.:
A biharmonic analogue of the Alt-Caffarelli problem, Math. Ann. , erscheint demnächst.
[Pdf]

Grunau, H.-Ch.; Okabe, S.:
Willmore obstacle problems under Dirichlet boundary conditions, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) 24, 1415-1462 (2023).
[Pdf]
The original article is available on https://journals.sns.it/index.php/annaliscienze/

Grunau, H.-Ch.
Optimal estimates from below for Green functions of higher order elliptic operators with variable leading coefficients, Arch. Math. 117, 95-104 (2021).
[Pdf]
The original article is available on http://link.springer.com/

Deckelnick, K.; Doemeland, M.; Grunau, H.-Ch.
Boundary value problems for the Helfrich functional for surfaces of revolution -- Existence and asymptotic behaviour, Calc. Var. Partial Differ. Equ., 60, Article number 32 (2021).
[Pdf]
The original article is available on http://link.springer.com/

Grunau, H.-Ch.; Miyake, N.; Okabe, S.:
Positivity of solutions to the Cauchy problem for linear and semilinear biharmonic heat equations, Adv. Nonlinear Anal. 10, 353-370 (2021).
[Pdf]
The original article is available on https://www.degruyter.com/

Grunau, H.-Ch.; Romani, G., Sweers, G.:
Differences between fundamental solutions of general higher-order elliptic operators and of products of second-order operators, Math. Ann. 381, 1031-1084 (2021).
[Pdf]
The original article is available on http://link.springer.com/

Grunau, H.-Ch.:
Boundary Value Problems for the Willmore Functional,
survey article, RIMS Kokyuroku series, No. 2146 (2020)
Proceedings of the workshop ``Analysis of Shapes of Solutions to Partial Differential Equations'', June 27-29, 2018.
[Pdf]

Eichmann, S.; Grunau, H.-Ch.:
Existence for Willmore surfaces of revolution satisfying non-symmetric Dirichlet boundary conditions.
Adv. Calc. Var. 12, 333–361 (2019).
[Pdf]
Copyright: de Gruyter. The original article is available on https://www.degruyter.com/view/j/acv

Dipierro, S.; Grunau, H.-Ch.:
Boggio's formula for fractional polyharmonic Dirichlet problems.
Ann. Mat. Pura Appl. (1923-) 196, 1327-1344 (2017).
[Pdf]
Copyright: Springer-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/

Deckelnick, K.; Grunau, H.-Ch.; Röger, M:
Minimising a relaxed Willmore functional for graphs subject to boundary conditions.
Interfaces Free Bound. 19, 109-140 (2017).
[Pdf]
Copyright: EMS - European Mathematical Society Publishing House.
The original article is available on https://www.ems-ph.org/journals/journal.php?jrn=ifb

Grunau, H.-Ch.; Lenor, St.:
Uniform estimates and convexity in capillary surfaces.
Nonlinear Analysis A: T.M.A. 97, 83-93 (2014).
[Pdf]
Copyright: Elsevier. The original article is available on http://www.sciencedirect.com/

Grunau, H.-Ch.; Sweers, G.:
In any dimension a "clamped plate" with a uniform weight may change sign.
Nonlinear Analysis A: T.M.A. 97, 119-124 (2014).
[Pdf]
Copyright: Elsevier. The original article is available on http://www.sciencedirect.com/

Grunau, H.-Ch.; Sweers, G.:
A clamped plate with a uniform weight may change sign.
Discrete Cont. Dynam. Systems - S (Proceedings etc.) 7, 761 - 766 (2014)
[Pdf]
Copyright: American Institute of Mathematical Sciences, first published with AIMS Press.

Grunau, H.-Ch.; Robert, F.:
Uniform estimates for polyharmonic Green functions in domains with small holes.
In: J. Serrin, E. Mitidieri, V. Radulescu (eds.), Recent Trends in Nonlinear Partial Differential Equations II: Stationary Problems.
Contemporary Mathematics 595, 263-272 (2013).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: American Mathematical Society. The original article is available on http://www.ams.org/books/conm/595/

Grunau, H.-Ch.:
The asymptotic shape of a boundary layer of symmetric Willmore surfaces of revolution.
In: C. Bandle et al. (eds.), Inequalities and Applications 2010.
International Series of Numerical Mathematics 161, 19-29 (2012).
[Ps] [Pdf]
Copyright: Springer Basel. The original article is available on http://link.springer.com/

Grunau, H.-Ch.; Robert, F.; Sweers, G.:
Optimal estimates from below for biharmonic Green functions.
Proc. Amer. Math. Society 139, 2151-2161 (2011).
[Pdf]
Copyright: American Mathematical Society AMS. The original article is available on http://www.ams.org/journals/proc/

Gazzola, F.; Grunau, H.-Ch.; Sweers, G.:
Optimal Sobolev and Hardy-Rellich constants under Navier boundary conditions.
Ann. Mat. Pura Appl. 189, 475-486 (2010).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: Springer-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/

Dall'Acqua, A., Fröhlich, St., Grunau, H.-Ch., Schieweck, F.:
Symmetric Willmore surfaces of revolution satisfying arbitrary Dirichlet boundary data.
Adv. Calc. Var. 4, 1-81 (2011).
[Ps] [Pdf]
Copyright: de Gruyter. The original article is available on https://www.degruyter.com/view/j/acv

Grunau, H.-Ch.:
Nonlinear questions in clamped plate models (Survey article).
Milan J. Math. 77, 171-204 (2009).
[Ps.gz] [Pdf]
Copyright: Birkhäuser-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/

Deckelnick, K. , Grunau, H.-Ch.:
A Navier boundary value problem for Willmore surfaces of revolution.
Analysis 29, 229-258 (2009).
[Ps] [Pdf]
Copyright: de Gruyter. The original article is available on http://www.degruyter.com/

Gazzola, F., Grunau, H.-Ch.:
Some new properties of biharmonic heat kernels.
Nonlinear Analysis T.M.A. 70, 2965 - 2973 (2009).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: Elsevier. The original article is available on http://www.sciencedirect.com/

Dall'Acqua, A., Deckelnick, K., Grunau, H.-Ch.:
Classical solutions to the Dirichlet problem for Willmore surfaces of revolution.
Adv. Calc. Var. 1, 379 - 397 (2008).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: de Gruyter. The original article is available on https://www.degruyter.com/view/j/acv

Ferrero, A., Grunau, H.-Ch., Karageorgis, P.:
Supercritical biharmonic equations with power-type nonlinearity.
Ann. Mat. Pura Appl. 188, 171 - 185 (2009).
[Ps] [Pdf] [Dvi], http://arxiv.org/abs/0711.2202Copyright: Springer-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/

Ferrero, A., Gazzola, F., Grunau, H.-Ch.:
Decay and eventual local positivity for biharmonic parabolic equations.
Discrete Cont. Dynam. Systems 21, 1129 - 1157 (2008).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: American Institute of Mathematical Sciences, first published with AIMS Press.

Deckelnick, K., Grunau, H.-Ch.:
Stability and symmetry in the Navier problem for the one-dimensional Willmore equation.
SIAM J. Math. Anal. 40, 2055 - 2076 (2009).
[Ps] [Pdf]
Copyright: SIAM. The original article is available on http://epubs.siam.org/SIMA/sima_toc.html

Grunau, H.-Ch., Robert, F.:
Positivity and almost positivity of biharmonic Green's functions under Dirichlet boundary conditions.
Arch. Rational Mech. Anal., 195, 865-898 (2010).
Copyright: Springer-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/

Preprint versions:
Stability of the positivity of biharmonic Green's functions under perturbations of the domain.
[Ps] [Pdf] [Dvi],
Positivity issues of biharmonic Green's functions under Dirichlet boundary conditions.
[Ps] [Pdf] [Dvi], http://arxiv.org/abs/0705.3301Research announcement:
Boundedness of the negative part of biharmonic Green's functions under Dirichlet boundary conditions in general domains.
C. R. Math. Acad. Sci. Paris , Ser. I 347, 163 - 166 (2009).
Copyright: Academie des Sciences / Elsevier Masson SAS.
The article is available on http://www.sciencedirect.com/science/journal/1631073X.

Gazzola, F., Grunau, H.-Ch.:
Local eventual positivity for a biharmonic heat equation in R^n.
Discrete Cont. Dynam. Systems - S (Proceedings etc.) 1, 83 - 87 (2008).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: American Institute of Mathematical Sciences, first published with AIMS Press.

Grunau, H.-Ch., Ould Ahmedou, M., Reichel, W.:
The Paneitz equation in hyperbolic space.
Annales Inst. H. Poincare (C) Nonlinear Analysis 25, 847 - 864 (2008).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: Elsevier. The original article is available on http://www.sciencedirect.com/

Ferrero, A., Grunau, H.-Ch.:
The Dirichlet problem for supercritical biharmonic equations with power-type nonlinearity.
J. Differ. Equations 234, 582 - 606 (2007).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: Elsevier. The original article is available on http://www.sciencedirect.com/

Arioli, G., Gazzola, F., Grunau, H.-Ch., Sassone, E.:
The second bifurcation branch for radial solutions of the Brezis-Nirenberg problem in dimension four.
Nonl. Differ. Equ. Appl. NoDEA 15, 69-90 (2008).
[Ps] [Pdf] [Files for computer assisted proof]
Copyright: Birkhäuser-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/

Grunau, H.-Ch., Sweers, G.:
Regions of positivity for polyharmonic Green functions in arbitrary domains.
Proc. Amer. Math. Society 135, 3537-3546 (2007).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: AMS. The original article is available on http://www.ams.org/journals/proc/

Berchio, E., Grunau, H.-Ch.:
Local regularity of weak solutions of semilinear parabolic systems with critical growth.
J. Evolution equations 7, 177-196 (2007).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: Birkhäuser-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/

Gazzola, F., Grunau, H.-Ch.:
Global solutions for superlinear parabolic equations involving the biharmonic operator for initial data with optimal slow decay.
Calc. Var. 30, 389-415 (2007).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: Springer-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/

Arioli, G., Gazzola, F., Grunau, H.-Ch.:
Entire solutions for a semilinear fourth order elliptic problem with exponential nonlinearity.
J. Differ. Equations 230, 743 - 770 (2006).
[Ps] [Pdf] [Files for computer assisted proof]
Copyright: Elsevier. The original article is available on http://www.sciencedirect.com/

Deckelnick, K., Grunau, H.-Ch.:
Boundary value problems for the one-dimensional Willmore equation,
Calc. Var. 30, 293-314 (2007).
[Ps] [Pdf]
Copyright: Springer-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/
Preliminary and more special version: Technical Report 05-02, University of Magdeburg.
[Ps] [Pdf]

Gazzola, F., Grunau, H.-Ch.:
Radial entire solutions for supercritical biharmonic equations.
Math. Annal. 334, 905 - 936 (2006).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: Springer-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/

Grunau, H.-Ch., Kühnel, M.:
On the existence of Hermitian-harmonic maps from complete Hermitian to complete Riemannian manifolds,
Math. Z. 249, 297-327 (2005).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: Springer-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/

Arioli, G., Gazzola, F., Grunau, H.-Ch., Mitidieri, E.:
A semilinear fourth order elliptic problem with exponential nonlinearity,
SIAM J. Math. Anal. 36, 1226-1258 (2005).
[Ps] [Pdf] [Files for computer assisted proof]
Copyright: SIAM. The original article is available on http://www.siam.org/journals/sima/sima.htm

Dall'Acqua, A., Grunau, H.-Ch., Sweers, G.:
On a conditioned Brownian motion and a maximum principle on the disk,
J. Anal. 93, 309-329 (2004).
[Ps] [Pdf] [Dvi]

Gazzola, F., Grunau, H.-Ch., Squassina, M.:
Existence and nonexistence results for critical growth biharmonic elliptic equations,
Calc. Var. PDE 18, 117-143 (2003).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: Springer-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/       

Gazzola, F., Grunau, H.-Ch., Mitidieri, E.:
Hardy inequalities with optimal constants and remainder terms,
Transactions Amer. Math. Soc. 356, 2149-2168 (2004).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: AMS. The original article is available on http://www.ams.org/tran/

Grunau, H.-Ch., Sweers, G.:
Optimal conditions for anti-maximum principles,
Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa. Cl. Sci. (4) 30, 499-513 (2001)

Grunau, H.-Ch.:
Positivity, change of sign and buckling eigenvalues in a one-dimensional fourth order model problem,
Adv. Differ. Equations. 7, 177-196 (2002).
[Ps] [Pdf]
Copyright: Khayyam-Publishing http://projecteuclid.org/euclid.ade/

Grunau, H.-Ch., Sweers, G.:
Sharp estimates for iterated Green functions,
Proc. Royal Soc. Edinburgh. 132A, 91-120 (2002).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
This article is reproduced by permission of the Royal Society of Edinburgh.
The original article is available on http://ninetta.ingentaselect.com/

Grunau, H.-Ch., Sweers, G.:
Nonexistence of local minima of supersolutions for the circular clamped plate,
Pacific J. Math 198, 437-442 (2001).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
The original article is available on http://msp.org/pjm/

Gazzola, F., Grunau, H.-Ch.:
Critical dimensions and higher order Sobolev inequalities with remainder terms,
Nonl. Differ. Equ. Appl. NoDEA 8, 35-44 (2001).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: Birkhäuser-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/

Gazzola, F., Grunau, H.-Ch.:
On the role of space dimension $n=2+2sqrt{2}$ in the semilinear Brezis-Nirenberg eigenvalue problem,
Analysis 20, 395-399 (2000).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: de Gruyter http://www.degruyter.com

Grunau, H.-Ch., Sweers, G.:
Sign change for the Green function and for the first eigenfunction of equations of clamped plate type,
Archive Rational Mech. Anal. 150, 179-190 (1999).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: Springer-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/

Grunau, H.-Ch.:
L^p-decay rates for strong solutions of a perturbed Navier-Stokes system in R^3, in: J. G. Heywood, K. Masuda, R. Rautmann, V. A. Solonnikov (eds.),
Theory of the Navier-Stokes Equations, Series Adv. Math. Appl. Sciences 47, 64-71 (1998).

Grunau, H.-Ch., Sweers, G.:
The role of positive boundary data in generalized clamped plate equations,
Z. angew. Math. Phys., 49, 420-435 (1998).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: Birkhäuser-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/

Grunau, H.-Ch., Sweers, G.:
Maximum principles and positive principal eigenfunctions for polyharmonic equations, in: G. Caristi, E. Mitidieri (eds.),
Reaction Diffusion Systems, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 194, 163-182 (1998).

Grunau, H.-Ch.:
Uniqueness of small solutions to the Dirichlet problem for the higher dimensional H-system,
Rocky Mountain J. Math. 27, 801-815 (1997).

Grunau, H.-Ch., Sweers, G.:
Positivity properties of elliptic boundary value problems of higher order,
Proc. 2nd World Congress of Nonlinear Analysis, Nonlinear Anal., T. M. A. 30, 5251-5258 (1997).

Grunau, H.-Ch., Wahl, W. von:
Regularity considerations for semilinear parabolic systems,
Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste 28 (Suppl.), 221-233 (1997).

Grunau, H.-Ch., Sweers, G.:
Classical solutions for some higher order semilinear elliptic equations under weak growth conditions,
Nonlinear Anal., T.M.A. 28, 799-807 (1997).

Grunau, H.-Ch., Sweers, G.:
Positivity for equations involving polyharmonic operators with Dirichlet boundary conditions,
Math. Ann. 307, 589-626 (1997).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: Springer-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/

Grunau, H.-Ch.:
On a conjecture of P. Pucci and J. Serrin,
Analysis 16, 399-403 (1996).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: de Gruyter http://www.degruyter.com

Grunau, H.-Ch., Sweers, G.:
Positivity for perturbations of polyharmonic operators with Dirichlet boundary conditions in two dimensions,
Math. Nachr. 179, 89-102 (1996).
[Ps] [Pdf] [Dvi]
Copyright: Mathematische Nachrichten, Wiley Verlag http://www.wiley-vch.de/

Grunau, H.-Ch.:
Critical exponents and multiple critical dimensions for polyharmonic operators. II,
Boll. Unione Mat. Ital.(7) 9-B, 815-847 (1995).

Grunau, H.-Ch.:
Positive solutions to semilinear polyharmonic Dirichlet problems involving critical Sobolev exponents,
Calculus of Variations and PDE 3, 243-252 (1995).
Copyright: Springer-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/

Bernis, F., Grunau, H.-Ch.:
Critical exponents and multiple critical dimensions for polyharmonic operators,
J. Differ. Equations117, 469-486 (1995).

Grunau, H.-Ch., Wahl, W. von:
Regularity of weak solutions of semilinear parabolic systems of arbitrary order,
Journal d'Analyse 62, 307-322 (1994).
[Ps] [Pdf] [Dvi]

Grunau, H.-Ch.:
L^2-decay rates for weak solutions of a perturbed Navier-Stokes system in R^3,
J. Math. Anal. Appl. 185, 340-349 (1994).

Grunau, H.-Ch.:
The Reynolds number and large time behaviour for weak solutions of the Navier-Stokes equations,
Z. angew. Math. Phys. 44, 587-593 (1993).

Grunau, H.-Ch.:
Boundedness for large |x| of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations with prescribed velocity at infinity,
Commun. Math. Phys. 151, 577-587 (1993).
[Pdf]
Copyright: Springer-Verlag. The original article is available on http://link.springer.com/

Grunau, H.-Ch.:
The Dirichlet problem for some semilinear elliptic differential equations of arbitrary order,
Analysis 11, 83-90 (1991).

Einen guten Überblick über meine aktuellen Interessen geben diese Vorträge: Marburg, Perugia, Darmstadt.

Randwertprobleme für Willmoreflächen

Die Willmoregleichung, d.h. die Euler-Lagrange-Gleichung zum Willmorefunktional, zählt zu den wichtigen und anspruchsvollen Herausforderungen der nichtlinearen Analysis: Sie ist quasilinear und von vierter Ordnung; viele aus der Theorie von Gleichungen und Systemen zweiter Ordnung her wohlbekannte Methoden versagen zu einem großen Teil. Dennoch konnten in letzter Zeit einige bemerkenswerte Fortschritte u.a. von L. Simon, E. Kuwert, R. Schätzle, T. Riviere u.a. erzielt werden. Bislang wurde das Willmorefunktional meist nur auf unberandeten kompakten Mannigfaltigkeiten studiert, da hier großer Gewinn aus globalen differentialgeometrischen Eigenschaften gezogen werden konnte. Hinsichtlich Randwertproblemen liegen erst ganz wenige Resultate vor: Die ohnehin schwierige Gewinnung von Kompaktheit / Abschätzungen wird hier nochmals komplizierter. In einem gemeinsamen Projekt mit Klaus Deckelnick und Friedhelm Schieweck wollen wir mit numerischen Studien und analytischen Untersuchungen von Randwertproblemen in symmetrischen Prototypsituationen beginnen und damit eine Richtung aufzeigen, unter welchen Bedingungen zu erwarten sein wird, mit a-priori-beschränkten Minimalfolgen arbeiten und a-priori-beschränkte klassische Lösungen erhalten zu können. Als studentische Hilfskraft hat hierzu Herr Lenor eine Reihe von Bildern produziert. Die Kollegen Klaus Deckelnick und Friedhelm Schieweck wollen numerische Algorithmen und Konvergenzsätze in allgemeineren Situation entwickelen, z.B. für Graphen über zweidimensionalen Gebieten. Diesbezügliche Ergebnisse könnten Entwicklungen hin zu parametrisch beschriebenen Flächen vorbereiten.
Förderung durch Deutsche Forschungsgemeinschaft, 1.10.2008-30.09.2010. Projektmitarbeiterin war Anna Dall'Acqua.

Qualitative Eigenschaften von Lösungen elliptischer Randwertprobleme höherer Ordnung

Als einfachsten Prototyp kann man hier an die Gleichung der eingespannten Platte denken, d.h. an den biharmonischen Operator unter Dirichletrandbedingungen. Von besonderem Interesse sind Positivitätseigenschaften: Unter welchen Bedingungen an das Problem (Gebiet, Differentialoperator) ziehen positive Daten positive Lösungen nach sich? Die Antwort auf diese Frage fällt recht differenziert aus: es sind sowohl Beispiele von Gebieten mit stets vorzeichenerhaltenden Lösungen als auch von solchen mit vorzeichenwechselnden Lösungen bekannt. Mein Hauptaugenmerk liegt auf positiven Resultaten: z.B. ist die Gleichung der eingespannten Platte in Gebieten positivitätserhaltend, die nicht zu sehr vom Kreis abweichen.
Neben ihrer anschaulichen Bedeutung sollen diese Untersuchungen vor allem auch Anwendung auf nichtlineare Gleichungen finden. Erste Erfolge konnten hier bereits erreicht werden, eine befriedigende Antwort auf die Frage, inwiefern die (eingeschränkt gültigen) Positivitätsresultate  Auswirkung auf die nichtlinearen Randwertprobleme höherer Ordnung haben, scheint aber derzeit noch nicht in Sicht zu sein.
Mittel- bis langfristig erhoffe ich mir hier Fortschritte bei Problemen aus der Physik (Mechanik, Hydrodynamik) und Differentialgeometrie.

In diesem Bereich arbeite ich mit Guido Sweers (Köln, TU Delft) und Frederic Robert zusammen.

Semilineare Eigenwertprobleme mit kritischem Wachstum

Diese Gleichungen stehen in engem Zusammenhang mit Problemen aus der konformen Geometrie. Zum einen interessiert mich hier im Anschluß an sehr bekannte Arbeiten u.a. von Brezis-Nirenberg und Pucci-Serrin die Frage, auf welche Weise die von den Problemen zweiter Ordnung her bekannten Resultate Verallgemeinerungen  auf Probleme beliebiger Ordnung erfahren. Zum anderen möchte ich  versuchen, Verbindungen zur Theorie qualitativer Eigenschaften von Lösungen herzustellen. In diesem Zusammenhang konnte eine abgeschwächte Version einer Vermutung von Pucci und Serrin bewiesen werden, die das Phänomen der "kritischen Dimensionen" für polyharmonische semilineare Dirichletprobleme zum Gegenstand hat. Ein Beweis der ursprünglichen Vermutung stellt immer noch eine Herausforderung dar.
In letzter Zeit konnten die Verbindungen zu den weiter oben genannten Positivitätsresultaten weiter ausgebaut werden, vor allem mit Hilfe der Zerlegung von Funktionen in Sobolevräumen höherer Ordnung bezüglich Paaren zueinander dualer Kegel. Diese ersetzt die in diesen Räumen nicht mehr zulässige Zerlegung in Positiv- und Negativteil und gestattet eine effiziente Beschreibung der Kompaktheitseigenschaften der beteiligten Variationsfunktionale.
In diesem Bereich ist die Zusammenarbeit besonders intensiv mit Filippo Gazzola.

Biharmonische Gleichungen mit superkritischem Wachstum

Variationstechniken stehen nicht mehr zur Verfügung, stattdessen sind Vergleichsprinzipien, Ober-/Unterfunktionstechniken und im Falle radialsymmetrischer Lösungen Methoden aus dem Bereich dynamischer Systeme anzuwenden. Die Verbindung von superkritischem Wachstum und Differentialoperatoren höherer Ordnung sorgt für technisch subtile Schwierigkeiten. Auch hier arbeite ich mit Filippo Gazzola zusammen.

Parabolische Systeme mit kritischem Wachstum

Untersucht wurden semilineare Systeme, bei denen das Wachstum der nichtlinearen Terme kritisch ist bzgl. der Energienorm schwacher Lösungen, d.h. sogenanntes kontrolliertes Wachstum: Ohne weitere Voraussetzungen (wie etwa Vorzeichenbedingungen) ist dann jede schwache Lösung stark. Dieses Regularitätsresultat, das gemeinsam mit Wolf von Wahl erzielt wurde, basiert auf einer Kontinuitätsmethode, bei der die Zeit als Kontinuitätsparameter verwendet wird.
Zum Anderen wurden geometrische Evolutionsprobleme betrachtet, mit deren Hilfe Hermitesch-harmonische Abbildungen zwischen nichtkompakten vollständigen Mannigfaltigkeiten konstruiert werden. Dieses System ist semilinear, quadratisch im Gradienten und nicht in Divergenzform.

Navier-Stokes-Gleichungen

Hier liegt mein Interesse auf instationären Außenraumproblemen mit nicht verschwindender Anströmgeschwindigkeit im Unendlichen. Untersucht werden die Regularitätseigenschaften geeigneter schwacher Lösungen sowie das zeitasymptotische Verhalten von Störungen stabiler stationärer Lösungen.

Meister, Ch.:

L^p - L^q - Theorie und asymptotisches Verhalten der Störungsenergie bei einem Navier-Stokes-System im Außenraum mit Anströmgeschwindigkeit für kleine Reynoldszahlen
Dissertation, Universität Bayreuth, 2001.
[Pdf]

Bräu, T.:

Eine Zerlegungsmethode bzgl. Paaren zueinander dualer Kegel und Anwendung in Sobolevräumen höherer Ordnung
Studienarbeit, Universität Magdeburg, 2005.
[Pdf]
English translation: A decomposition method with respect to dual cones and its application to higher order Sobolev spaces
Seminar paper, University of Magdeburg, 2005.
[Pdf]

Köckritz, Ch.:

Lokale Positivität der polyharmonischen Greenschen Funktion
Studienarbeit, Universität Magdeburg, 2007.
[Pdf]

Jachalski, S.:

Asymptotic behaviour for Willmore surfaces of revolution under natural boundary conditions
Englisches Preprint, Teil der Diplomarbeit, Universität Magdeburg, 2010.
[Pdf]

Pulst, L.:

Ein Analogon eines Satzes von Moser auf der S^4
Diplomarbeit, Universität Magdeburg, 2010.
[Pdf]

Lenor, S.:

Konvexität und gleichmäßige Abschätzungen bei der Kapillaritätsgleichung
Diplomarbeit, Universität Magdeburg, 2012.
[Pdf]

Eichmann, S.:

Nichtperiodische Fortsetzbarkeit von Willmore-Flächen unter Axialsymmetrie
Diplomarbeit, Universität Magdeburg, 2014.
[Pdf]

Gulyak, B.:

Erste a-priori-Abschätzungen für Willmore-Graphen über allgemeinen Gebieten
Projektarbeit, Universität Magdeburg, 2014.
[Pdf]

Doemeland, M.

Verallgemeinerung eines Existenzsatzes für axialsymmetrische Minimierer des Willmore-Funktionals auf das Helfrich-Funktional
Projektarbeit, Universität Magdeburg, 2015.
[Pdf]

Pulst, L.:

Dominance of positivity of the Green's function associated to a perturbed polyharmonic Dirichlet boundary value problem by pointwise estimates
PhD Dissertation, Universität Magdeburg, 2015.
[Pdf]

Barlage, E.:

Positive Lösungen elliptischer Gleichungen zweiter Ordnung mit kritischem Wachstum in kontrahierbaren Gebieten
Masterarbeit, Universität Magdeburg, 2017.
[Pdf]

Eichmann, S.:

Willmore Surfaces of Revolution Satisfying Dirichlet Data
Dissertation, Universität Magdeburg, 2017.
[Pdf]

Doemeland, M.:

Axialsymmetrische Minimierer des Helfrich Funktionals
Masterarbeit, Universität Magdeburg, 2017.
[PDF]

Himmel, B.:

Die Boggio-Formel für polyharmonische Dirichletprobleme
Bachelorarbeit, Universität Magdeburg, 2019.
[PDF]

Gulyak, B.:

Willmore Boundary Value Problems
Dissertation, Universität Magdeburg, 2023.
[Pdf]

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Buch mit Hans Grauert "Lineare Algebra und Analytische Geometrie"

Copyright: Oldenbourg-Verlag, München, 1999-2009.
Ab 2009: Alle Rechte bei den Autoren.

Kompletter Download: [ PS-Datei] [ DVI-Datei] [ PDF-Datei]

Vorlesungsmanuskript "Abbildungsgrad und Fixpunktsätze"

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Algorithmische Mathematik: Beispielprogramme

Paragraph 1
[ Additionsmaschine1.c] [ Additionsmaschine2.c] [ Additionsmaschine2a.c] [ Additionsmaschine2b.c]
[ Additionsmaschine2c.c] [ Fakultaet.c] [ Taschenrechner.c]
Paragraph 2
[ ggT.c] [ Primfaktorzerlegung.c]
Paragraph 3
[ Einheiten_in_Z_mod_mZ.c] [ Chin_Restsatz.c]
Paragraph 4
[ Einlesen_strings.c] [ Einlesen_lange_strings.c] [ Liste_einfach.c] [ Liste_doppelt_verkettet.c] [ Addition_lang.c]
Paragraph 5
[ Breitensuche.c] [ Abstandsbestimmung.c]
Paragraph 6
[ Bellman_Ford.c] [ Dijkstra.c]
Paragraph 7
[ Exponentialfunktion1.c] [ Exponentialfunktion2.c] [ Exponentialfunktion3.c] [ Exponentialfunktion4.c]
[ Logarithmus1.c] [ Logarithmus2.c] [ Cordic_Division.c]
Gnuplot-Interface von N. Devillard: [ gnuplot_i.c] [ gnuplot_i.h] [ gnuplot_i.o]
[ Kompilierungskommandos.txt]
Paragraph 8
[ Logarithmus_bisek.c] [ Min_Max_a.c] [ Min_Max_b.c] [ Wurzel1.c] [ Wurzel2.c] [ Kompilierungskommandos.txt]
Paragraph 9
[ Differentiation1.c] [ Differentiation2.c] [ Integration1.c] [ Integration2.c] [ Kompilierungskommandos.txt]


Übungen:
Web-Seite von Herrn Ludwig Pulst

Maple-Worksheets zu Lineare Algebra I

Grundlagen: Matrizenkalkül, Gaußscher Algorithmus
[ Grundlagen.mws]
Trigonalisierung beliebiger komplexer qudratischer Matrizen mittels unitärer Koordinatenwechsel
[ Trigonalisierung.mws]
Vertiefung: Determinanten, Eigenwerte, Eigenvektoren, Diagonalisierung
[ Vertiefung.mws]

Maple-Worksheets zu Analysis I

(erstellt von Frau Stephanie Lehmann und Frau Elke Eisenschmidt)

Zur Konvergenz von Folgen
[ Folgen.mws]
Polarkoordinaten
[ Komplex.mws]
Stetigkeit
[ Stetig.mws]
Kurvendiskussion und Differentialrechnung
[ Differentialrechnung.mws]

Maple-Worksheets zu Analysis II

Unstetigkeitsverhalten von Funktionen zweier Veränderlicher
[ Unstetig.mws]
Zur Integration
[ Integration.mws]
Kurven und Ableitungen von Funktionen mehrerer Veränderlicher
[ PartielleAbleitung.mws]
Implizite Funktionen
[ ImpliziteFunktion.mws]

Maple-Worksheets zu Mathematik für Physiker III/IV

Fourierreihen
[ fourierseries2.mws]

Maple-Worksheets zu Funktionentheorie

Hier gibt es ein aktuelles Lehrbuch, welches die theoretische Entwicklung des Stoffs mit zahlreichen Maple-Worksheets auf sehr gelungene Weise unterstützt und illustriert:
W. Forst, D. Hoffmann,
Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer-Verlag: Berlin etc. 2002.
Die zugehörigen Worksheets können auf der Homepage von Herrn Kollegen W. Forst (Ulm) heruntergeladen werden.

Maple-Worksheets zu Partielle Differentialgleichungen

(Animationen für Laplace-, Wellen- und Wärmeleitungsgleichung mittels Fourierreihenentwicklung)

Laplacegleichung
[ poissonkernel.mws]
Wärmeleitungsgleichung räumlich eindimensional
[ heatfourier.mws]
Wärmeleitungsgleichung räumlich zweidimensional, Quadrat
[ heatfourier2D_1.mws]
Wellengleichung räumlich eindimensional
[ wavefourier.mws]
Wellengleichung räumlich zweidimensional, Quadrat
[ wavefourier2D_1.mws]
Wellengleichung räumlich zweidimensional, Kreis
[ wavefourier2D_2.mws]
Wellengleichung räumlich zweidimensional, Kreis, radialsymmetrisch
[ wavefourier2D_2radial.mws]

Aufgaben Algorithmische Mathematik I (Wintersemester 2012/13)

[ PDF-Datei]

Aufgaben Algorithmische Mathematik II (Sommersemester 2012/13)

[ PDF-Datei]

Aufgaben Analysis I (Wintersemester 2010/11)

[ PDF-Datei]

Aufgaben Analysis II (Sommersemester 2011)

[ PDF-Datei]

Aufgaben Analysis III (Wintersemester 2011/12)

[ PDF-Datei]

Aufgaben zu Funktionentheorie (Sommersemester 2012)

[ PDF-Datei]

Aufgaben Partielle Differentialgleichungen I

[ PDF-Datei]

Aufgaben Partielle Differentialgleichungen II

[ PDF-Datei]

Aufgaben Differentialgeometrie I (Wintersemester 2012/13)

[ PDF-Datei]

Aufgaben Differentialgeometrie II (Sommersemester 2012/13)

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Aufgaben Dynamische Systeme

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Aufgaben zu "Analysis der Navier-Stokes-Gleichungen"

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Aufgaben zu Abbildungsgrad und Fixpunktsätze

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Lösungen dazu

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Aufgaben zu Lineare Algebra I für Physiker

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Aufgaben zu Mathematik III für Physiker

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Aufgaben zu Mathematik IV für Physiker

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